Ejemplos de funciones exponenciales con respuestas
La función exponencial es una de las funciones más importantes de las matemáticas (aunque habría que admitir que la función lineal tiene una importancia aún mayor). Para formar una función exponencial, dejamos que la variable independiente sea el exponente. Un ejemplo sencillo es la función
Como se ilustra en la gráfica anterior de $f$, la función exponencial aumenta rápidamente. Las funciones exponenciales son soluciones a los tipos más simples de sistemas dinámicos. Por ejemplo, una función exponencial surge en modelos simples de crecimiento de bacterias
Base de una función exponencial
Si queremos encontrar \(y\) cuando \(x=3\), podemos encontrar rápidamente que \(y=3*3=9\). Pero, esto es en realidad lo que se conoce como una “función de potencia”. De hecho, es sólo un polinomio, y no una función exponencial en absoluto.
La función exponencial general se ve así: \ ( \large y=b^x\), donde la base b es cualquier constante positiva. La base b podría ser 1, pero recuerda que 1 a cualquier potencia es sólo 1, ¡así que es una función exponencial particularmente aburrida!
Solemos utilizar una fórmula de crecimiento exponencial para modelar la población de una bacteria. Digamos que una población de bacterias se define por \(B(t)=100*1,12^t\) donde B es la población total y t representa el tiempo en horas. Aunque parezca complicado, en realidad nos dice que la bacteria crece un 12% cada hora. Cada vez que pasa una hora más, t aumenta en 1, por lo que tenemos que volver a multiplicar la población por 1,12. El 100 simplemente fija la población inicial en el tiempo t=0.
Uso de la función exponencial
Las gráficas de las funciones exponenciales tienen dos formas características, dependiendo de si la base, \(b{texto{,}\}) es mayor que \(1\) o menor que \(1{texto{,}\}) Como ejemplos típicos, consideremos las gráficas de \(f (x) = 2^x\) y \(g(x) =left(\dfrac{1}\}right)^x\) que se muestran a continuación. Algunos valores de \(f\) y \(g\) se registran en las tablas.
Observa que \(f (x) = 2^x\) es una función creciente y \(g(x) = \left(dfrac{1}{2}\right)^x\) es una función decreciente. Ambas son cóncavas hacia arriba. En general, las funciones exponenciales tienen las siguientes propiedades.
En la tabla de \(f(x)\text{,}\} se puede ver que a medida que los valores de \(x\)-disminuyen hacia el infinito negativo, los correspondientes valores de \(y)-disminuyen hacia cero. Como resultado, la gráfica de \(f\) disminuye hacia el eje \(x\), pero nunca lo toca, a medida que nos movemos hacia la izquierda. El eje negativo \(x\) es una asíntota horizontal para las funciones exponenciales con \(b \gt 1\text{,}\) como se muestra en la figura (a).
¿Cómo afecta el valor de \(b\) a la gráfica? Para las funciones crecientes, cuanto mayor sea el valor de la base, \(b\text{,}\}, más rápido crecerá la función. En el ejemplo siguiente, comparamos dos funciones exponenciales con bases diferentes.
Ecuaciones exponenciales
En esta unidad, veremos una variedad de aplicaciones que son modeladas por funciones exponenciales. Las funciones exponenciales modelan muchos fenómenos científicos. Algunas aplicaciones de las funciones exponenciales son el crecimiento de la población, el interés compuesto y la desintegración radiactiva. La desintegración radiactiva se utiliza para datar objetos antiguos encontrados en yacimientos arqueológicos.
Una función exponencial es una función con la forma general y = abx, a ≠ 0, b es un número real positivo y b ≠ 1. En una función exponencial, la base b es una constante. El exponente x es la variable independiente donde el dominio es el conjunto de los números reales.
La expresión 100 ⋅ 2n se llama expresión exponencial porque el exponente n es una variable, y la base 2 es un número fijo. La base de una expresión exponencial se denomina comúnmente multiplicador.
La gráfica de la función madre y = 2x está estirada por un factor 3. Observa que la intersección y de y = 3(2)x es 3. El dominio de la función son los números reales y el rango son todos los números positivos.