Ejercicios de ecuaciones lineales
Si trasladamos una aplicación a una configuración matemática con dos variables, tenemos que formar un sistema lineal con dos ecuaciones. Plantear problemas de palabras con dos variables suele simplificar todo el proceso, sobre todo cuando las relaciones entre las variables no son tan claras.
Se invirtió un total de 12.800 dólares en dos cuentas. Una parte se invirtió en un CD a un tipo de interés anual del 318% y otra parte se invirtió en un fondo del mercado monetario a un tipo de interés anual del 434%. Si el interés simple total durante un año fue de 465 $, ¿cuánto se invirtió en cada cuenta?
Para establecer una segunda ecuación, utiliza el hecho de que el interés total fue de 465 $. Recuerda que el interés de un año es el tipo de interés multiplicado por el principal (I=prt=pr⋅1=pr). Utiliza esto para sumar los intereses de ambas cuentas. Asegúrate de utilizar los equivalentes decimales de los tipos de interés dados como porcentajes.
Los problemas de mezcla suelen incluir un porcentaje y alguna cantidad total. Es importante distinguir entre estos dos tipos de cantidades. Por ejemplo, si un problema dice que un recipiente de 20 onzas está lleno de una solución salina (sal) al 2%, entonces esto significa que el recipiente está lleno de una mezcla de sal y agua como sigue:
Problemas de ecuaciones simultáneas
Es probable que los alumnos de matemáticas de primaria estén familiarizados con las advertencias de los profesores de no adivinar la respuesta a un problema. Pero una nueva prueba establece que, de hecho, adivinar correctamente es a veces la mejor manera de resolver sistemas de ecuaciones lineales, uno de los cálculos fundamentales en matemáticas.
El nuevo método, obra de Richard Peng y Santosh Vempala, del Instituto Tecnológico de Georgia, se publicó en línea en julio y se presentó en enero en el Simposio anual ACM-SIAM sobre Algoritmos Discretos, donde ganó el premio al mejor artículo.
Los sistemas lineales incluyen dos o más ecuaciones con variables que especifican las diferentes formas en que se relacionan las cosas. Son “lineales” porque la única potencia permitida es exactamente 1 y las gráficas de las soluciones de las ecuaciones forman planos.
Un ejemplo común de sistema lineal -que probablemente también conozcan los estudiantes de matemáticas- es el de un corral lleno de gallinas y cerdos. Si sólo se sabe que hay 10 cabezas y 30 pies, ¿cuántas gallinas hay y cuántos cerdos? Como aprenden los estudiantes de álgebra, hay un procedimiento establecido para averiguarlo: Escribir dos ecuaciones algebraicas y resolverlas juntas.
Problemas cuadráticos lineales
solución.Sistemas sobredeterminadosAbrir Live ScriptEste ejemplo muestra cómo los sistemas sobredeterminados se encuentran a menudo en varios tipos de ajuste de curvas a los datos experimentales.Una cantidad y se mide en varios valores diferentes de tiempo t para producir las siguientes observaciones. Puede introducir los datos y visualizarlos en una tabla con las siguientes afirmaciones.t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]’;
Intenta modelar los datos con una función exponencial decrecientey(t)=c1+c2e-t.La ecuación anterior dice que el vector y debe ser aproximado por una combinación lineal de otros dos vectores. Uno es un vector constante que contiene todos los unos y el otro es el vector con componentes exp(-t). Los coeficientes desconocidos, c1 y c2, pueden calcularse haciendo un ajuste por mínimos cuadrados, que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto al modelo. Hay seis ecuaciones en dos incógnitas, representadas por una matriz de 6 por 2.E = [ones(size(t)) exp(-t)]E = 6×2
plot(T,Y,’-‘,t,y,’o’)E*c no es exactamente igual a y, pero la diferencia podría ser menor que los errores de medición en los datos originales.Una matriz rectangular A es de rango deficiente si no tiene columnas linealmente independientes. Si A tiene un rango deficiente, la solución por mínimos cuadrados de AX = B no es única. A\B emite una advertencia si A tiene un rango deficiente y produce una solución de mínimos cuadrados. Puede utilizar lsqminnorm para encontrar la solución X que tiene la norma mínima entre todas las soluciones.Sistemas subdeterminadosEste ejemplo muestra cómo la solución de los sistemas subdeterminados no es única. Los sistemas lineales subdeterminados implican más incógnitas que ecuaciones. La operación de división matricial a la izquierda en MATLAB encuentra una solución básica de mínimos cuadrados, que tiene como máximo m componentes no nulos para una matriz de m por n coeficientes.He aquí un pequeño ejemplo aleatorio:R = [6 8 7 3; 3 5 4 1]
Problemas de práctica de álgebra
Muchos problemas se prestan a ser resueltos con sistemas de ecuaciones lineales. En la “vida real”, estos problemas pueden ser increíblemente complejos. Esta es una de las razones por las que el álgebra lineal (el estudio de los sistemas lineales y conceptos relacionados) es una rama propia de las matemáticas.
En el pasado, lo habría planteado eligiendo una variable para uno de los grupos (por ejemplo, “c” para “niños”) y luego utilizando “(total) menos (lo que ya he contabilizado)” (en este caso, “2200 – c”) para el otro grupo. El uso de un sistema de ecuaciones, sin embargo, me permite utilizar dos variables diferentes para las dos incógnitas diferentes.
El dígito de la decena significa “diez veces el valor de este dígito”. Al igual que “26” es “10 veces 2, más 6 veces 1”, también el número de dos cifras que me han dado será diez veces el dígito de la “decena”, más una vez el dígito de la “unidad”. En otras palabras:
Para hallar la ecuación de la parábola, meterás los valores de cada uno de los tres pares (x, y) en y = ax2 + bx + c. Esto te dará tres ecuaciones en tres incógnitas, siendo esas incógnitas los coeficientes, a, b y c.