Qué es la fórmula cuadrática
La fórmula cuadrática no sólo genera las soluciones de una ecuación cuadrática, sino que también nos indica la naturaleza de las soluciones. Cuando consideramos el discriminante, o la expresión bajo el radical, [latex]{b}^{2}-4ac[/latex], nos dice si las soluciones son números reales o complejos y cuántas soluciones de cada tipo podemos esperar.
Para [latex]a{x}^{2}+bx+c=0[/latex], donde [latex]a[/latex], [latex]b[/latex] y [latex]c[/latex] son números reales, el discriminante es la expresión bajo el radical en la fórmula cuadrática: [latex]{b}^{2}-4ac[/latex]. Nos indica si las soluciones son números reales o complejos y cuántas soluciones de cada tipo podemos esperar.
Utiliza las siguientes gráficas de funciones cuadráticas para determinar cuántas y qué tipo de soluciones tendrá la correspondiente ecuación cuadrática [latex]f(x)=0[/latex]. Determina si el discriminante será mayor, menor o igual a cero para cada una.
c. En nuestra gráfica final, la función cuadrática cruza el eje x dos veces, lo que nos indica que hay dos soluciones de números reales para la ecuación [latex]f(x)=0[/latex], y por tanto [latex]b^{2}-4ac>0[/latex].
Raíz de una ecuación
El discriminante se utiliza mucho en el caso de las ecuaciones cuadráticas y sirve para encontrar la naturaleza de las raíces. Aunque encontrar el discriminante de cualquier polinomio no es tan fácil, existen fórmulas para encontrar el discriminante de ecuaciones cuadráticas y cúbicas que nos facilitan el trabajo.
El discriminante de un polinomio en matemáticas es una función de los coeficientes del polinomio. Es útil para determinar qué tipo de soluciones tiene una ecuación polinómica sin encontrarlas realmente, es decir, discrimina las soluciones de la ecuación (como iguales y desiguales; reales y no reales) y de ahí el nombre de “discriminante”. Se suele denotar por Δ o D. El valor del discriminante puede ser cualquier número real (es decir, positivo, negativo o 0).
Para encontrar el discriminante de una ecuación cúbica o de una ecuación cuadrática, sólo tenemos que comparar la ecuación dada con su forma estándar y determinar primero los coeficientes. Luego sustituimos los coeficientes en la fórmula correspondiente para hallar el discriminante.
¿Recuerdas haber utilizado antes b2 – 4ac? Sí, es una parte de la fórmula cuadrática: x = \(\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\). Aquí, la expresión que está dentro de la raíz cuadrada de la fórmula cuadrática se llama discriminante de la ecuación cuadrática. La fórmula cuadrática en términos del discriminante es: x = \(\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}\).
Ecuación paramétrica
El discriminante también puede ser útil cuando se intenta factorizar cuadráticas. Si #Delta# es un número cuadrado, entonces la cuadrática se factorizará, (ya que la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática será racional). Si no es un número cuadrado, entonces la cuadrática no se factorizará. Esto puede evitar que pases mucho tiempo tratando de factorizar cuando no funciona. En su lugar, resuelve completando el cuadrado o utilizando la fórmula.
El discriminante de una ecuación polinómica es un valor calculado a partir de los coeficientes que nos ayuda a determinar el tipo de raíces que tiene, concretamente si son reales o no reales y distintas o repetidas.
B 2 4ac
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En matemáticas, el discriminante de un polinomio es una cantidad que depende de los coeficientes y determina varias propiedades de las raíces. Se define generalmente como una función polinómica de los coeficientes del polinomio original. El discriminante se utiliza ampliamente en la factorización de polinomios, la teoría de números y la geometría algebraica. A menudo se denota con el símbolo
la cantidad que aparece bajo la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática. Este discriminante es cero si y sólo si el polinomio tiene una raíz doble. En el caso de coeficientes reales, es positivo si el polinomio tiene dos raíces reales distintas, y negativo si tiene dos raíces complejas conjugadas distintas[1]. De forma similar, para un polinomio cúbico, existe un discriminante que es cero si y sólo si el polinomio tiene una raíz múltiple. En el caso de un cúbico con coeficientes reales, el discriminante es positivo si el polinomio tiene tres raíces reales distintas, y negativo si tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas distintas.