Ecuación diferencial homogénea de segundo orden
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una ecuación de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en la forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.
Ecuación diferencial lineal
Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación que contiene una diferenciación y una función, con un conjunto de variables. La función f(x, y) en una ecuación diferencial homogénea es una función homogénea tal que f(λx, λy) = λnf(x, y), para cualquier constante no nula λ. La forma general de una ecuación diferencial homogénea es f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0.
Una ecuación diferencial que contiene una función homogénea se llama ecuación diferencial homogénea. La función f(x, y) se llama función homogénea si f(λx, λy) = λnf(x, y), para cualquier constante no nula λ. La forma general de la ecuación diferencial homogénea es de la forma f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0. La ecuación diferencial homogénea tiene el mismo grado para las variables x, y dentro de la ecuación.
La ecuación diferencial homogénea no tiene un término constante dentro de la ecuación. La ecuación diferencial lineal tiene un término constante. La solución de una ecuación diferencial lineal es posible si somos capaces de eliminar el término constante de la ecuación diferencial lineal y transformarla en una ecuación diferencial homogénea. Además, la ecuación diferencial homogénea no tiene las variables x, y dentro de ninguna función especial como las funciones logarítmicas, o trigonométricas.
Ecuación diferencial homogénea y no homogénea
Las ecuaciones diferenciales homogéneas son iguales a 0Las ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden tienen la forma ??ay”+by’+cy=0?? La ecuación diferencial es de segundo orden porque incluye la segunda derivada de ??y??. Es homogénea porque el lado derecho es “0”. Si el lado derecho de la ecuación es distinto de cero, la ecuación diferencial se llama no homogénea.
Lo primero que queremos aprender sobre las ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden es cómo encontrar sus soluciones generales. La fórmula que utilizaremos para la solución general dependerá de los tipos de raíces que encontremos para la ecuación diferencial.Para encontrar las raíces, primero haremos sustituciones para la función “y” en términos de la variable “r”. Me gusta decir que el número de “marcas” en la función “y” es igual al exponente que pondremos en la variable “r”. En otras palabras
Al hacer estas sustituciones en la ecuación diferencial obtenemos: ar^2+br+c=0??? Una vez que hemos sustituido, tenemos la forma estándar de una ecuación cuadrática y podemos factorizar el lado izquierdo para resolver las raíces de la ecuación.
Cómo comprobar una ecuación diferencial homogénea
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Al igual que con las ecuaciones diferenciales de segundo orden, no podemos resolver una ecuación diferencial no homogénea a menos que podamos resolver primero la ecuación diferencial homogénea. También tendremos que limitarnos a las ecuaciones diferenciales de coeficiente constante, ya que la resolución de ecuaciones diferenciales de coeficiente no constante es bastante difícil, por lo que no las trataremos aquí. Asimismo, sólo estudiaremos las ecuaciones diferenciales lineales.
Ahora, supongamos que las soluciones a esta ecuación diferencial será en la forma \ ~(y\left( t \right) = {\bf{e}^{r\,t}}) y enchufe esto en la ecuación diferencial y con un poco de simplificación obtenemos,