Resolución de ecuaciones exponenciales pdf
En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin liberó conejos en la naturaleza para su caza. Como Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos se disparó. En menos de diez años, la población de conejos se contaba por millones. El crecimiento incontrolado de la población, como el de los conejos salvajes en Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales pueden resolverse para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial. En esta sección, aprenderemos técnicas para resolver funciones exponenciales.
La primera técnica implica dos funciones con bases similares. Recordemos que la propiedad uno a uno de las funciones exponenciales nos dice que, para cualesquiera números reales \(b\), \(S\), y \(T\), donde \(b>0\), \(b≠1\), \(b^S=b^T\) si y sólo si \(S=T\).
En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deben ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por lo tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales utilizando las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son uno-a-uno para establecer los exponentes iguales entre sí, y resolver la incógnita.
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lado derecho de la tercera ecuación. Estos tres ejemplos de ecuaciones exponenciales nos llevan a la siguiente definición.Definición: Ecuación exponencialUna ecuación exponencial es una ecuación en la que una variable se utiliza en un exponente o más.Para determinar el conjunto de soluciones de una ecuación exponencial, a menudo es útil para reescribirlo de manera que cada lado
Ahora, veamos algunos ejemplos de cómo se usan estas reglas al resolver ecuaciones exponenciales.Ejemplo 1: Encontrar el conjunto de soluciones de ecuaciones exponencialesDado que 2=32, encuentra el valor de .Respuesta Para encontrar el valor de , debemos comenzar reescribiendo la ecuación de modo que ambos lados
Ejemplo 2: Evaluación de expresiones exponenciales después de resolver ecuaciones exponencialesDado que 8=4=64, encuentra el valor de +.Respuesta Para encontrar el valor de +, debemos empezar reescribiendo 8=4=64
+ y simplificar: 2+3=5. El valor de + es 5.Ahora, consideremos un problema que involucra exponentes binomiales.Ejemplo 3: Encontrar el conjunto de soluciones de una ecuación exponencial que involucra exponentes binomialesEncuentra el valor de para el cual 81=13.Respuesta Se nos ha pedido encontrar el valor de para el cual 81=13. En el lado izquierdo de esta ecuación, la base 81 se eleva a la potencia
Resolver ecuaciones exponenciales con diferentes bases
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Ahora que hemos visto las definiciones de las funciones exponenciales y logarítmicas, tenemos que empezar a pensar en cómo resolver ecuaciones que las involucran. En esta sección veremos la resolución de ecuaciones exponenciales y veremos la resolución de ecuaciones logarítmicas en la siguiente sección.
Hay dos métodos para resolver ecuaciones exponenciales. Un método es bastante sencillo pero requiere una forma muy especial de la ecuación exponencial. El otro funciona con ecuaciones exponenciales más complicadas, pero a veces puede ser un poco complicado.
Ahora bien, en este caso no tenemos la misma base por lo que no podemos simplemente poner los exponentes iguales. Sin embargo, con un poco de manipulación del lado derecho podemos obtener la misma base en ambos exponentes. Para ello todo lo que tenemos que notar es que \ (9 = {3^2}\). Esto es lo que obtenemos cuando usamos este hecho.
Reglas de los exponentes
La mayoría de las ecuaciones exponenciales no se resuelven de forma ordenada; no habrá forma de convertir las bases para que sean iguales, como la conversión de 4 y 8 en potencias de 2. Para resolver estas ecuaciones más complicadas, tendrás que usar logaritmos.
Tomar logaritmos nos permitirá aprovechar la regla del logaritmo que dice que las potencias dentro de un logaritmo se pueden desplazar por delante como multiplicadores. Al tomar el logaritmo de una exponencial, podemos mover la variable (que está en el exponente que ahora está dentro de un logaritmo) hacia adelante, como un multiplicador en el logaritmo. En otras palabras, la regla del logaritmo nos permitirá desplazar la variable hacia abajo, donde podamos tenerla a mano.
Si esta ecuación me hubiera pedido “Resolver 2x = 32”, entonces encontrar la solución habría sido fácil, porque podría haber convertido el 32 en 25, poner los exponentes iguales y resolver “x = 5”. Pero, a diferencia de 32, 30 no es una potencia de 2, así que no puedo establecer potencias iguales entre sí. Necesito algún otro método para llegar a la x, porque no puedo resolver la ecuación con la variable flotando por encima del 2; la necesito de nuevo en el suelo, donde debe estar, donde puedo llegar a ella. Y tendré que usar logaritmos para bajar esa variable.