Ejemplos de ecuaciones de primer grado en una variable
En pocas palabras, las ecuaciones trigonométricas no son más que ecuaciones que presentan las razones trigonométricas como el seno y el coseno en la variable “xxx”. Debido a la presencia de estas funciones trigonométricas, la resolución de estas ecuaciones se vuelve un poco más difícil. Pero, antes de entrar en la resolución de estas ecuaciones trigonométricas, ¡asegurémonos de entender qué son las ecuaciones trigonométricas de 1er1^{st}1er grado! A continuación hay un par de ejemplos de ecuaciones trigonométricas:
Fíjate en que las ecuaciones anteriores tienen el formato familiar de los polinomios, pero con la adición de las razones trigonométricas seno y coseno. Ahora que tenemos una idea de cómo son las ecuaciones trigonométricas, veamos cómo resolver las ecuaciones trigonométricas de primer grado.
A menudo, cuando tratamos con ecuaciones trigonométricas de primer grado, usamos los ángulos rectos especiales, los ángulos de referencia y el círculo unitario para resolver la variable xxx (o lo que sea la variable). A continuación se muestra una copia de la tabla del círculo unitario, que da los grados y radianes del círculo unitario.
NOTA: Esta tabla sólo da los valores del seno, coseno y tangente en el primer cuadrante usando el ángulo de referencia común. Los valores se basan en algunos triángulos especiales con los que deberías estar familiarizado, incluyendo el triángulo 45 45 90 y el triángulo 30 60 90.
Ejercicios de ecuaciones de primer grado con respuestas
Las ecuaciones son de primer grado cuando pueden escribirse en la forma ax + b = c, donde x es una variable y a, b y c son constantes conocidas y a a!=0. Discutimos las técnicas para resolver ecuaciones de primer grado en la sección 3.4 y de nuevo en la sección 3.5 al tratar con fórmulas. Además, encontrar las soluciones a las proporciones discutidas en las secciones 6.6 y 6.7 implica resolver ecuaciones de primer grado.
Este tema es uno de los más básicos e importantes para cualquier estudiante principiante de álgebra y se presenta de nuevo aquí para reforzarlo positivamente y como preparación para resolver una variedad de aplicaciones en las secciones 7.3, 7.4 y 7.5.
Hay exactamente una solución para una ecuación de primer grado en una variable. Esta afirmación puede demostrarse por el método de la contradicción. La prueba no se da aquí. Las ecuaciones que tienen más de una solución se discutirán en los capítulos 8, 9 y 10.
Esta última técnica tiene la ventaja de dejar sólo los coeficientes enteros y las constantes. Si hay más de una fracción, entonces cada término debe ser multiplicado por el LCM de los denominadores de las fracciones.
Ecuaciones de primer grado con fracciones
Las ecuaciones que incluyen incógnitas elevadas a una potencia de uno se conocen como ecuaciones de primer grado. También existen ecuaciones de segundo grado que incluyen al menos una variable elevada al cuadrado o a una potencia de dos. Las ecuaciones también pueden ser de tercer grado, de cuarto grado, etc. La ecuación de segundo grado más famosa es la ecuación cuadrática, que tiene la forma general ax2 +bx +c = 0; donde a, b y c son constantes y a no es igual a 0. La solución de este tipo de ecuación puede encontrarse a menudo mediante un método conocido como factorización.
Dado que la ecuación cuadrática es el producto de dos ecuaciones de primer grado, se puede factorizar en estas ecuaciones. Por ejemplo, el producto de las dos expresiones (x + 2)(x – 3) nos proporciona la expresión cuadrática x2 – x – 6. Las dos expresiones (x + 2) y (x – 3) se llaman factores de la expresión cuadrática x2 – x – 6. Al establecer cada factor de una ecuación cuadrática igual a cero, se pueden obtener soluciones. En esta ecuación cuadrática, las soluciones son x = -2 y x = 3.
Ecuación de primer grado en dos variables
Simplificando la ecuación llegamos a que es verdadera todo el tiempo, no depende del valor de , por lo que no importa el valor de la ecuación es siempre verdadera, y como tiene infinitos valores posibles tenemos infinitas soluciones para esta ecuación.
Elegimos 2 valores de y obtenemos el valor respectivo de y luego graficamos los dos puntos en un plano y el nuevo trazamos la recta que pasa por los dos puntos, y la coordenada del punto de intersección de la recta y el eje x es la solución de la ecuación.
Llamamos ecuación de segundo grado, a toda ecuación con la forma estándar con , y siendo números reales y distintos de cero. Se llama ecuación de segundo grado porque la mayor potencia de en esta ecuación es 2 (es decir ).
Ahora la resolución es sencilla ya que tenemos el producto de dos de primer grado igual a cero entonces sabemos con seguridad que o el primer término del producto es igual a cero o el segundo es igual a cero, lo que significa que o , resolvemos cada término de primer grado del lado izquierdo, obtenemos: