Sistema de ecuaciones diferenciales lineales
donde a (x) y f (x) son funciones continuas de x, se denomina ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Consideramos dos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:
La solución general de la ecuación homogénea contiene una constante de integración \(C.\) Reemplazamos la constante \(C\) por una cierta función (aún desconocida) \(C\left( x \right).\N-) Sustituyendo esta solución en la ecuación diferencial no homogénea, podemos determinar la función \(C\left( x \right).\N)
Si además de la ecuación diferencial, existe una condición inicial en forma de \(y\left( {{x_0}\right) = {y_0},\) dicho problema se denomina problema de valor inicial (PIV) o problema de Cauchy.
\N – [x{{dy}} {{dx}} = y,\N; \N – Flecha derecha \N – frac {{dy}} {y} = \N frac {{dx}},\N – Flecha derecha int {{frac {{dy}} = \Nint {{dx}} \N – Flecha derecha \N – Izquierda y derecha = \N – Izquierda x derecha + \N – C,\N – Flecha derecha y = Cx,\N – Flecha izquierda]
[x\left[ {C’\left( x \right)x + C\left( x \right)} \right] = C\left( x \right)x + 2{x^3},\\\\️; \Rightarrow C’\left( x \right){x^2} + \cãncel{cã “lula( x \right)x} = \cãncel{cã “lula( x \right)x} + 2{x^3},\N; \NFlecha derecha C’\Nizquierda( x \Nderecha) = 2x.\N-]
Solución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
La forma específica de una ecuación diferencial linealAquí hablaremos de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Recuerde de la introducción a esta sección que estas son ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).
Una ecuación diferencial lineal de primer orden se expresará de la forma [A] donde P(x) y Q(x) son funciones de x, la variable independiente. Vamos a hablar de cómo resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden.
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Solucionador de sistemas de ecuaciones diferenciales
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El primer caso especial de ecuaciones diferenciales de primer orden que veremos es la ecuación diferencial lineal de primer orden. En este caso, a diferencia de la mayoría de los casos de primer orden que veremos, podemos derivar una fórmula para la solución general. La solución general se deriva a continuación. Sin embargo, le sugerimos que no memorice la fórmula en sí. En lugar de memorizar la fórmula deberías memorizar y entender el proceso que voy a utilizar para derivar la fórmula. En realidad, la mayoría de los problemas son más fáciles de resolver utilizando el proceso en lugar de la fórmula.
Entonces, veamos cómo resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden. Recuerde que a medida que avanzamos a través de este proceso que el objetivo es llegar a una solución que está en la forma \ (y = y\left( t \right)\). A veces es fácil perder de vista el objetivo cuando pasamos por este proceso por primera vez.
Solucionador de ecuaciones diferenciales
La ecuación diferencial lineal es una ecuación que tiene una variable, una derivada de esta variable y algunas otras funciones. La forma estándar de una ecuación diferencial lineal es dy/dx + Py = Q, y contiene la variable y, y sus derivadas. Las P y Q en esta ecuación diferencial son constantes numéricas o funciones de x.
La ecuación diferencial lineal en una forma importante de una ecuación diferencial y puede ser resuelta usando una fórmula. Aprendamos la fórmula y la derivación, para encontrar la solución general de una ecuación diferencial lineal.
La ecuación diferencial lineal es de la forma dy/dx + Py = Q, donde P y Q son constantes numéricas o funciones en x. Consta de una y y una derivada de y. La diferencial es una diferenciación de primer orden y se llama ecuación diferencial lineal de primer orden.
Algunos de los ejemplos de ecuación diferencial lineal en y son dy/dx + y = Cosx, dy/dx + (-2y)/x = x2.e-x. Y los ejemplos de ecuación diferencial lineal en x son dx/dy + x = Siny, dx/dy + x/y = ey. dx/dy + x/(ylogy) = 1/y.