Regla de Cramer 2×2
La regla de Cramers es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales donde hay la misma cantidad de incógnitas que de ecuaciones en el sistema. La técnica consiste en un conjunto de ecuaciones que implican determinantes y cocientes para obtener el conjunto único de soluciones de un sistema lineal.
A lo largo de esta lección nos centraremos en explicar el método de resolución de un sistema que llamaremos regla de Cramers 3×3 y regla de Cramers 2×2, esto significa que nos centraremos en los casos en los que tengamos un sistema de ecuaciones con 3 ecuaciones para 3 incógnitas (n=3) o un sistema con 2 ecuaciones para 2 incógnitas (n=2). La razón es que la regla de Cramers no es práctica cuando un sistema es de orden superior a 3, otros métodos, como la resolución de un sistema lineal con matrices utilizando la eliminación de Gauss, o simplemente la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por sustitución son mucho más efectivos computacionalmente para trabajar con un sistema lineal. Aun así, la regla de Cramers es una pieza importante del álgebra lineal que hay que tener en cuenta debido a su rigor matemático y a la profunda comprensión de la transcripción de sistemas lineales en matrices, y viceversa, cuando dichos sistemas tienen soluciones únicas.
Cómo resolver sistemas lineales
entonces los denominadores en las expresiones anteriores para las incógnitas x e y son ambos iguales al determinante de la matriz de coeficientes. Además, el numerador de la expresión para la primera incógnita, x, es igual al determinante de la matriz que resulta cuando se sustituye la primera columna de la matriz de coeficientes por la columna de constantes, y el numerador de la expresión para la segunda incógnita, y, es igual al determinante de la matriz que resulta cuando se sustituye la segunda columna de la matriz de coeficientes por la columna de constantes. Esta es la regla de Cramer para un sistema lineal de 2 por 2.
Aunque la Regla de Cramer es de importancia teórica porque da una fórmula para las incógnitas, generalmente no es un método de solución eficiente, especialmente para sistemas grandes. La eliminación gaussiana sigue siendo el método preferido. Sin embargo, la regla de Cramer puede ser útil cuando, por ejemplo, se necesita el valor de una sola incógnita.
Calculadora de la regla de Cramer
Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones en dos variables y en tres variables, y por múltiples métodos: sustitución, adición, eliminación de Gauss, uso de la inversa de una matriz y graficación. Algunos de estos métodos son más fáciles de aplicar que otros y son más apropiados en determinadas situaciones. En esta sección, estudiaremos dos estrategias más para resolver sistemas de ecuaciones.
Un determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible, utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. A veces se envían señales o mensajes seguros codificados en una matriz. Los datos sólo pueden descifrarse con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir las pautas específicas que se describen en esta sección.
Sistema de ecuaciones lineales
Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones en dos variables y en tres variables, y por múltiples métodos: sustitución, adición, eliminación de Gauss, uso de la inversa de una matriz y graficación. Algunos de estos métodos son más fáciles de aplicar que otros y son más apropiados en determinadas situaciones. En esta sección, estudiaremos dos estrategias más para resolver sistemas de ecuaciones.
Un determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible, utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. A veces se envían señales o mensajes seguros codificados en una matriz. Los datos sólo pueden descifrarse con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir las pautas específicas que se describen en esta sección.