Calculadora de suma de matrices
Una matriz, en un contexto matemático, es una matriz rectangular de números, símbolos o expresiones que se organizan en filas y columnas. Las matrices se utilizan a menudo en campos científicos como la física, los gráficos por ordenador, la teoría de la probabilidad, la estadística, el cálculo y el análisis numérico, entre otros.
Las dimensiones de una matriz, A, se suelen denotar como m × n. Esto significa que A tiene m filas y n columnas. Cuando se hace referencia a un valor específico de una matriz, llamado elemento, se suele utilizar una variable con dos subíndices para denotar cada elemento en función de su posición en la matriz. Por ejemplo, dado ai,j, donde i = 1 y j = 3, a1,3 es el valor del elemento en la primera fila y la tercera columna de la matriz dada.
La suma de matrices sólo puede realizarse en matrices del mismo tamaño. Esto significa que sólo se pueden sumar matrices si ambas matrices son m × n. Por ejemplo, se pueden sumar dos o más matrices de 3 × 3, 1 × 2 o 5 × 4. No puedes sumar una matriz de 2 × 3 y otra de 3 × 2, una de 4 × 4 y otra de 3 × 3, etc. El número de filas y columnas de todas las matrices que se sumen debe coincidir exactamente.
Ecuaciones matriciales
Antes de que podamos dar sentido a cualquier resultado que produzca nuestra calculadora de número de condición, definamos primero el número de condición de la matriz y lo que representa. Por lo general, denotamos el número de condición de una matriz AAA como cond(A)\Ntexto{cond}(A)cond(A) o κ(A)\Nkappa(A)κ(A). Podemos definirla matemáticamente como sigue:
En esta ecuación, ∥⋅∥\Vert\cdot\Vert∥⋅∥ es una norma matricial cualquiera. Cuando queramos especificar qué norma hemos utilizado, podemos usar el subíndice correspondiente en el símbolo del número de condición, como cond2(A)\text{cond}_2(A)cond2(A) para la norma matricial 2∥⋅∥2\cdot\Vert_2∥⋅∥2. Además, A-1A^{-1}A-1 es la inversa de AAA.
La matriz AAA es no invertible si su determinante es cero (es decir, ∣A∣=0|A| = 0∣A∣=0). En este caso, tiene un número de condición infinito. Para obtener todavía una idea de la condicionalidad de la matriz, algunos matemáticos redefinirían el número de condición con el pseudoinverso de Moore-Penrose A+A^+A+ como cond(A)=∥A∥⋅∥A+∥text{cond}(A) = \Vert A\Vert\cdot \Vert A^+\Vertcond(A)=∥A∥⋅∥A+∥. Esta definición alternativa seguiría proporcionando números de condición enormes y casi infinitos para las matrices no invertibles, con lo que se seguiría respetando nuestra definición inicial.
Rref en línea
La inversa de una matriz se puede encontrar usando la fórmula donde es el determinante de .Si entonces Encuentra el determinante de .Toca para más pasos…Estas son ambas notaciones válidas para el determinante de una matriz.El determinante de una matriz se puede encontrar usando la fórmula .Simplifica el determinante.Toca para más pasos…Simplifica cada término.Toca para más pasos…Multiplica por . Multiplique por .Reste de .Sustituya los valores conocidos en la fórmula para la inversa de una matriz.Simplifique cada elemento de la matriz.Toque para más pasos…Reacomode.Reacomode.Multiplique por cada elemento de la matriz.Simplifique cada elemento de la matriz.Toque para más pasos…Reacomode.Reacomode.Reacomode.Izquierda multiplique ambos lados de la ecuación de la matriz por la matriz inversa.Cualquier matriz multiplicada por su inversa es igual a todo el tiempo. Simplifique el lado derecho de la ecuación.Toque para más pasos…Multiplique cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz.Simplifique cada elemento de la matriz multiplicando todas las expresiones.Simplifique el lado izquierdo y el derecho.Encuentre la solución.
Symbolab
La salida sigue las reglas estándar de promoción de tipos, aunque en los dos primeros casos, si A y B son enteros, la salida es también un entero, mientras que en el tercer caso si A y B son enteros, la salida es de tipo double.
El operador de división por la derecha se utiliza con mucha menos frecuencia que el operador de división por la izquierda, pero los conceptos son similares. Se puede utilizar para encontrar soluciones de mínimos cuadrados y de norma mínima. También se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones de la misma manera. He aquí un ejemplo sencillo: