Calculadora de eliminación gaussiana
Carl Friedrich Gauss vivió entre finales del siglo XVIII y principios del XIX, pero se le sigue considerando uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Sus contribuciones a la ciencia de las matemáticas y la física abarcan campos como el álgebra, la teoría de números, el análisis, la geometría diferencial, la astronomía y la óptica, entre otros. Sus descubrimientos sobre la teoría de las matrices cambiaron la forma de trabajar de los matemáticos durante los dos últimos siglos.
Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y éstas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, sustituyendo esencialmente los signos de igualdad. Cuando un sistema se escribe de esta forma, lo llamamos matriz aumentada.
Observe que la matriz se escribe de forma que las variables se alinean en sus propias columnas: \Los términos de x van en la primera columna, los de y en la segunda y los de z en la tercera. Es muy importante que cada ecuación se escriba en la forma estándar \(ax+by+cz=d\) para que las variables se alineen. Cuando en una ecuación falta un término variable, el coeficiente es \(0\).
Eliminación gaussiana en Mathematica
Dado un sistema de \ (n\) ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) con \ (m\) incógnitas. Se le pide que resuelva el sistema: que determine si no tiene solución, si tiene exactamente una solución o un número infinito de soluciones. Y en caso de que tenga al menos una solución, encontrar cualquiera de ellas.
El algoritmo es una eliminación secuencial de las variables en cada ecuación, hasta que cada ecuación sólo tenga una variable restante. Si \(n = m\), se puede pensar en transformar la matriz \(A\) en matriz identidad, y resolver la ecuación en este caso obvio, donde la solución es única y es igual al coeficiente \(b_i\).
En el primer paso, el algoritmo de Gauss-Jordan divide la primera fila por \ (a_{11}\). A continuación, el algoritmo añade la primera fila a las filas restantes de tal manera que los coeficientes en la primera columna se convierte en todos los ceros. Para ello, en la fila i-ésima, debemos sumar la primera fila multiplicada por \(- a_{i1}\). Tenga en cuenta que, esta operación también se debe realizar en el vector \(b\). En cierto sentido, se comporta como si el vector \(b\) fuera la \(m+1\)-ésima columna de la matriz \(A\).
Ejemplos de eliminación gaussiana 3×3
El método de eliminación de Gauss, también llamado método de reducción de filas, es un algoritmo utilizado para resolver un sistema de ecuaciones lineales con una matriz. El método de eliminación de Gauss consiste en expresar un sistema lineal en forma de matriz y aplicar operaciones elementales de fila a la matriz para encontrar el valor de las incógnitas.
Sin embargo, para entender cómo funciona la eliminación de Gauss, primero debemos saber cómo expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y qué operaciones de fila se pueden calcular. Por lo tanto, explicaremos primero estas dos cosas y luego veremos cómo aplicar el método de eliminación de Gauss.
En álgebra lineal, un sistema de ecuaciones puede expresarse en forma matricial: los coeficientes de la incógnita x corresponden a la primera columna de la matriz, los coeficientes de la incógnita y a la segunda columna, los coeficientes de la incógnita z a la tercera columna y las constantes a la cuarta columna.
Por ejemplo, el número -1, que es el primer elemento de la segunda fila, es el negativo de 1, el primer elemento de la primera fila. Por tanto, si sumamos la primera fila a la segunda, el -1 se eliminará:
Eliminación gaussiana python
Resolver sistemas lineales de tres variables y tres ecuaciones es más difícil, al menos al principio, que resolver sistemas de dos variables y dos ecuaciones, porque los cálculos implicados son más complicados; hay muchas oportunidades de cometer errores por descuido. (Hablo por dolorosa experiencia.) Así que, cuando pases de los sistemas lineales de dos variables a situaciones más complicadas, tendrás que ser muy ordenado en tu trabajo, y deberías planear usar mucho papel de borrador. Mucho, mucho papel de borrador.
(La metodología para resolver estos sistemas de ecuaciones más grandes es una extensión del método de resolución por adición de dos variables, así que asegúrate de que conoces bien este método y puedes utilizarlo correctamente de forma consistente).
Aunque el método de solución se basa en la adición/eliminación, intentar hacer la adición real tiende a volverse rápidamente confuso, por lo que existe un método sistematizado para resolver sistemas lineales de tres o más variables. Este método se llama “eliminación gaussiana”.
(Este método de solución lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss, aunque en realidad los europeos habían obtenido este método de Isaac Newton un par de siglos antes, quien lo había ideado de forma independiente unos mil quinientos años después de que los chinos lo hubieran desarrollado).