Resolución de problemas de ecuaciones lineales en dos variables
Los problemas de palabras pueden resolverse tras ser traducidos a ecuaciones lineales. Aprende qué es una ecuación lineal y cómo utilizarla para resolver problemas sencillos, y echa un vistazo a algunos problemas de práctica del mundo real.
Matemáticas del mundo realUn tren sale de Chicago a las 7 de la mañana, viajando a 70 mph hacia Nueva York, que está a 800 millas de distancia. Otro tren sale de Nueva York a la misma hora, viajando en una vía paralela a Chicago a 85 mph. ¿Cuándo se encontrarán? La pregunta es: ¿por qué nos importan tanto los trenes? Bueno, a mí me gustan los trenes, pero sigo sintiéndome un poco nervioso cuando leo un problema de matemáticas que empieza con un tren. Si voy a tener que traducir un escenario del mundo real a una ecuación algebraica, ¿no puede ser algo que realmente pueda encontrar en mi vida? Es decir, he viajado en tren entre Chicago y Nueva York, pero nunca he trazado cuándo mi tren pasará por encima de otro. En esta lección, no sólo practicaremos la resolución de problemas que pueden traducirse en ecuaciones lineales, sino que también nos centraremos en problemas que puedes encontrar en tu vida, problemas que no implican el paso de trenes.
Resolución de ecuaciones lineales con 2 variables
Este tipo de ecuaciones pueden resolverse de forma intuitiva utilizando sólo nuestros conocimientos de aritmética básica, sobre todo porque las respuestas son todas números enteros. Nos gustaría ser capaces de resolver ecuaciones más complicadas cuyas soluciones sean números racionales o reales, por lo que necesitamos desarrollar algunas estrategias estándar para hacerlo. Por ejemplo: ¿Cuál es el radio de un círculo cuyo perímetro es de 5 cm?
Las ecuaciones surgen de forma muy natural al resolver problemas. De hecho, gran parte de la resolución de problemas depende de que seamos capaces de traducir una palabra dada o un problema del mundo real en una ecuación, o ecuaciones, resolver la ecuación o ecuaciones y relacionar la solución con el problema original. Convertir un problema complicado en una ecuación nos permite comprender y resolver problemas difíciles. Antes de llegar a esta fase, necesitamos tener a mano una colección de técnicas para resolver ecuaciones.
En épocas anteriores, la gente utilizaba una serie de métodos ad hoc para resolver ecuaciones. Sólo desde el desarrollo del álgebra moderna se han construido procedimientos y notaciones estándar que nos permiten resolver ecuaciones de forma rápida y eficaz.
Resolución de problemas de ecuaciones lineales
Hasta ahora hemos tratado de resolver una forma específica de una ecuación lineal. Ahora es el momento de exponer una estrategia general que puede utilizarse para resolver cualquier ecuación lineal. Algunas ecuaciones que resolvemos no requerirán todos estos pasos para su resolución, pero muchas sí.
Consideremos la ecuación que resolvimos al principio de la última sección, . La solución que encontramos fue . Esto significa que la ecuación es verdadera cuando sustituimos la variable, x, por el valor . Lo demostramos cuando comprobamos la solución y evaluamos para .
La ecuación es verdadera cuando sustituimos la variable x por el valor , pero no es verdadera cuando sustituimos x por cualquier otro valor. Que la ecuación sea verdadera o no depende del valor de la variable. Las ecuaciones de este tipo se llaman ecuaciones condicionales.
Esto significa que la ecuación es verdadera para cualquier valor de y. Decimos que la solución de la ecuación son todos los números reales. Una ecuación que es verdadera para cualquier valor de la variable se llama identidad.
Al resolver la ecuación se obtiene la afirmación falsa . La ecuación no será verdadera para ningún valor de z. No tiene solución. Una ecuación que no tiene solución, o que es falsa para todos los valores de la variable, se llama contradicción.
Ejercicios de ecuaciones lineales
Hay varios problemas que implican relaciones entre números conocidos y desconocidos y que se pueden plantear en forma de ecuaciones. Las ecuaciones se plantean generalmente con palabras y por ello nos referimos a estos problemas como problemas de palabras. Con la ayuda de las ecuaciones en una variable, ya hemos practicado las ecuaciones para resolver algunos problemas de la vida real.
1. La suma de dos números es 25. Uno de los números supera al otro en 9. Encuentra los números. Solución:Entonces el otro número = x + 9Deja que el número sea x. Suma de dos números = 25Según la pregunta, x + x + 9 = 25⇒ 2x + 9 = 25⇒ 2x = 25 – 9 (transponiendo el 9 al H.R. S cambia a -9) ⇒ 2x = 16⇒ 2x/2 = 16/2 (dividir por 2 en ambos lados) ⇒ x = 8Por lo tanto, x + 9 = 8 + 9 = 17Por lo tanto, los dos números son 8 y 17.2.La diferencia entre los dos números es 48. El cociente de los dos números es 7:3. ¿Cuáles son los dos números? Solución: Que el cociente común sea x. Que el cociente común sea x. Su diferencia = 48Según la pregunta, 7x – 3x = 48 ⇒ 4x = 48 ⇒ x = 48/4 ⇒ x = 12Por tanto, 7x = 7 × 12 = 84 3x = 3 × 12 = 36 Por tanto, los dos números son 84 y 36.3. La longitud de un rectángulo es el doble de su anchura. Si el perímetro es de 72 metros, halla la longitud y la anchura del rectángulo. Solución:Sea la anchura del rectángulo x, Entonces la longitud del rectángulo = 2xPerímetro del rectángulo = 72Por tanto, según la pregunta2(x + 2x) = 72⇒ 2 × 3x = 72⇒ 6x = 72 ⇒ x = 72/6⇒ x = 12Sabemos, que la longitud del rectángulo = 2x = 2 × 12 = 24Por tanto, la longitud del rectángulo es 24 m y la anchura del rectángulo es 12 m.