Cómo resolver 2 ecuaciones con 2 variables
Este es el tercero de nuestra serie de artículos breves en los que se tratan temas importantes para los técnicos en electrónica y electromecánica y para los estudiantes de técnico que se preparan para el mercado laboral actual. En esta serie, discutiremos algunas habilidades y temas cotidianos para los técnicos en ejercicio, así como algunas áreas que han sido identificadas como “difíciles de entender” por nuestros estudiantes de técnico mientras realizan análisis de circuitos generales. Los temas de discusión incluirán técnicas de reducción de circuitos, respuestas transitorias, así como áreas de dificultad cuando se trabaja con teoremas de redes lineales de corriente continua.
Muchos técnicos encuentran dificultades para resolver ecuaciones de nodos o bucles que contienen múltiples cantidades desconocidas. En esta tercera entrega de la Serie de Técnicos en Práctica, revisaremos un medio para resolver tales ecuaciones para obtener las corrientes de bucle o los voltajes de nodo al realizar el análisis de la red de CC lineal. Los dos métodos de nivel técnico para resolver ecuaciones simultáneas con múltiples incógnitas que se utilizan cuando se trata de dos o tres ecuaciones son la “sustitución” y la “eliminación”. Para resolver un número determinado de incógnitas, requerimos que se proporcione el mismo número de ecuaciones. Por ejemplo, necesitaríamos dos ecuaciones para resolver dos incógnitas. Para resolver tres incógnitas se necesitan tres ecuaciones, y así sucesivamente.
Método de sustitución
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es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x, y, z. Una solución de un sistema lineal es una asignación de valores a las variables tal que todas las ecuaciones se satisfacen simultáneamente. Una solución del sistema anterior viene dada por la siguiente tripleta ordenada.
En matemáticas, la teoría de los sistemas lineales es la base y una parte fundamental del álgebra lineal, materia que se utiliza en la mayor parte de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica, y desempeñan un papel destacado en ingeniería, física, química, informática y economía. Un sistema de ecuaciones no lineales a menudo puede aproximarse mediante un sistema lineal (véase linealización), una técnica útil cuando se hace un modelo matemático o una simulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.
Solucionador de ecuaciones en línea
Juan recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3% de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4% de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7% de interés anual. John invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Juan en cada tipo de fondo?
Entender el enfoque correcto para plantear problemas como éste hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos éste y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas similares a las empleadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar las soluciones de los sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un poco de gimnasia visual.
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, el objetivo principal es eliminar una variable cada vez para lograr la sustitución por la espalda. Una solución a un sistema de tres ecuaciones en tres variables [latex]\left(x,y,z\right),\text{}[/latex] se llama un triple ordenado.
Método de eliminación
Juan recibió una herencia de 12.000 $ que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3% de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4% de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7% de interés anual. John invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Juan en cada tipo de fondo?
Entender el enfoque correcto para plantear problemas como éste hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos éste y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas similares a las empleadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar las soluciones de los sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un poco de gimnasia visual.
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación gaussiana, que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Aunque no hay un orden definitivo en el que se deben realizar las operaciones, sí hay pautas específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden hacer. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. El objetivo es eliminar una variable cada vez para conseguir la forma triangular superior, que es la forma ideal para un sistema de tres por tres, ya que permite una sustitución posterior directa para encontrar una solución que llamamos triple ordenada. Un sistema en forma triangular superior tiene el siguiente aspecto: