Resolver sistema de ecuaciones lineales python
Desde los cursos de álgebra sabemos que la definición de una ecuación es simplemente una “igualdad”. Así, una ecuación es una expresión matemática que contiene un signo de igualdad en su interior, definiendo al menos dos expresiones como iguales utilizando una o más variables junto con valores numéricos (dependiendo de la necesidad). Las variables incluidas en dichas expresiones también pueden llamarse incógnitas y las resolvemos encontrando los valores numéricos que hacen que toda la relación de la ecuación sea cierta.
Entonces, ¿cuál sería la diferencia entre una ecuación regular y una ecuación matricial? En realidad, esto se debe al tipo de notación que se utiliza al escribir la ecuación. Una ecuación típica se escribe como una expresión algebraica, es decir: sólo coeficientes y variables que definen una relación matemática. Pero ya hemos visto otro tipo de ecuación en lecciones anteriores: una ecuación vectorial, y si recuerdas de nuestra última lección para este curso, una ecuación vectorial es aquella en la que puedes distinguir todos los coeficientes de un sistema de ecuaciones que están relacionados con cada variable (habrá un ejemplo de esto más adelante, o puedes simplemente volver a la lección sobre combinaciones lineales y ecuaciones vectoriales en Rn si necesitas un repaso).
Calculadora de suma de matrices
H, y A* para denotar la transposición, la conjugación, la transposición conjugada y la matriz adyacente de A, respectivamente. σ(A) y λ(B) son los conjuntos de valores propios característicos de las matrices A y B, respectivamente. I se representa como matriz de identidad de dimensión apropiada. Además, para A ∈ C
Es evidente que ∏(A, C, B) es un polinomio de las matrices A, B y C. Este polinomio está definido por las matrices de coeficientes y el polinomio característico de AA¯. Es decir, para cada ecuación conjugada de Kalman-Yakubovich de la forma (2), existe un polinomio ∏(A, C, B) de sus matrices de coeficientes unívocamente determinado. Por tanto, obtenemos la siguiente ecuación:
Demostración -A partir del argumento anterior, se demuestra que (2) implica (21). Ahora probamos que (21) implica (2) cuando ηγ ≠ 1 para cualquier η∈λ(AA¯) y γ∈λ(B¯B). Supongamos ahora que X es una solución de (21), podemos obtener
que es un polinomio de f~AA¯(B¯B). Como f~AA¯(B¯B) es un polinomio de B¯B, se sabe fácilmente que [f~AA¯(B¯B)]-1 es un polinomio de B¯B. Así que podemos ver que ∏(A,C,B)[f~AA¯(B¯B)]-1 es un polinomio de las matrices A, B y C.
Matlab resolver la ecuación de la matriz
La forma de encontrar x’ (usando la notación de la pregunta) es, como se ha dicho correctamente en cada una de las respuestas anteriores, derivar el problema asociado AT Ax’ = AT b y resolverlo mediante la eliminación gaussiana (también llamada eliminación de Gauss-Jordan, la diferencia es técnica y no es importante aquí). Está garantizado que tiene solución.
El hecho de que esta es la solución correcta del problema se basa en las propiedades del “punto más cercano” de un punto a un subespacio. Queremos el punto más cercano a b en el subespacio Im A. Llamémoslo b’. Las propiedades del “punto más cercano” implican que la diferencia, b – b’, es ortogonal a todo en Im A. Es sencillo hacer un dibujo para convencerse de que si c está en Im A y b – c no es ortogonal a todo en Im A, entonces es posible “empujar” un poco a c, ya sea lejos o hacia el origen, a c’ para que b – c’ sea más corto que b – c.
Entonces b – b’ es ortogonal a todo en Im A. Como ser ortogonal a algo es una condición lineal, basta con comprobar que b – b’ es ortogonal a un conjunto de extensión de Im A, para lo cual podemos tomar las columnas de A. Como estamos utilizando el producto interior estándar, esto significa que para cada columna, digamos a de A, aT(b – b’) = 0. Juntando esto, obtenemos la relación AT(b – b’) = 0. Como b’ está en la imagen de A, hay algún x’ tal que b’ = A x’, con lo que vemos que x’ satisface ATb – ATA x’ = 0, y obtenemos la fórmula deseada al reordenar. Esto también garantiza la existencia de una solución para esta ecuación.
Calculadora de ecuaciones lineales matriciales
Dada una matriz cuadrada compleja G y una matriz cuadrada M, que puedo calcular rápidamente a partir de G, necesito calcular eficientemente la matriz G’ definida por la ecuación matricial G’ ⋅ M⊤ = G en mi programa C++. Después se puede descartar la G original.
Como mi experiencia con el álgebra lineal numérica es limitada, hasta ahora he confiado en la biblioteca Armadillo, que tiene una sintaxis muy agradable y puede proporcionar un buen rendimiento. Mi enfoque aquí sería entonces tomar la transposición de ambos lados de la ecuación y resolver el problema
Pero si he entendido bien el código, muy basado en plantillas, esto implicaría realizar las transposiciones y copiar los datos en la rutina cgesv de LAPACK. Por supuesto, estas son operaciones O(N2) comparadas con las O(N3) del solucionador lineal real, pero aún así preferiría evitarlas en este caso.
Nunca he utilizado LAPACK directamente hasta ahora, pero ¿habría la posibilidad de ganar rendimiento llamando directamente a una rutina LAPACK sin tener que realizar las transposiciones? ¿O sugieres un enfoque diferente?