Apuntes de ecuaciones diferenciales
El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan mediante derivadas. Así, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es plantear una ecuación que contenga una función desconocida (y=f(x)\Ny su derivada, conocida como ecuación diferencial. La resolución de este tipo de ecuaciones suele proporcionar información sobre cómo cambian las cantidades y, con frecuencia, permite entender cómo y por qué se producen los cambios.
Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden adoptar muchas formas diferentes, incluyendo la solución directa, el uso de gráficos o los cálculos por ordenador. Presentamos las ideas principales en este capítulo y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles.
Consideremos la ecuación \(y′=3x^2,\) que es un ejemplo de ecuación diferencial porque incluye una derivada. Existe una relación entre las variables \(x\) y \(y:y\) es una función desconocida de \(x\). Además, el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de \(y\). Por lo tanto, podemos interpretar esta ecuación como sigue: Partimos de alguna función \(y=f(x)\Ny tomamos su derivada. La respuesta debe ser igual a \(3x^2\). ¿Qué función tiene una derivada que es igual a \(3x^2\)? Una de estas funciones es \(y=x^3\), por lo que esta función se considera una solución de una ecuación diferencial.
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En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación diferencial que contiene una o más funciones de una variable independiente y las derivadas de esas funciones[1] El término ordinario se utiliza en contraste con el término ecuación diferencial parcial que puede ser con respecto a más de una variable independiente[2].
Entre las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales lineales juegan un papel destacado por varias razones. La mayoría de las funciones elementales y especiales que se encuentran en la física y la matemática aplicada son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales (véase Función holonómica). Cuando los fenómenos físicos se modelan con ecuaciones no lineales, generalmente se aproximan mediante ecuaciones diferenciales lineales para facilitar su solución. Las pocas EDO no lineales que pueden resolverse de forma explícita suelen resolverse transformando la ecuación en una EDO lineal equivalente (véase, por ejemplo, la ecuación de Riccati).
Algunas EDO pueden resolverse explícitamente en términos de funciones e integrales conocidas. Cuando esto no es posible, puede ser útil la ecuación para calcular la serie de Taylor de las soluciones. Para los problemas aplicados, los métodos numéricos para las ecuaciones diferenciales ordinarias pueden proporcionar una aproximación de la solución.
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Vivimos en la era de los avances asombrosos. Los ingenieros pueden crear robots, los físicos pueden describir el movimiento de las ondas, los péndulos o los sistemas caóticos, mientras que nos comunicamos de forma inalámbrica en una vasta red mundial. Pero bajo estas maravillas modernas, se encuentran unas profundas y misteriosamente poderosas, llamadas ecuaciones diferenciales. Pero, ¿qué son las ecuaciones diferenciales? ¿De dónde vienen las ecuaciones diferenciales? Y por qué funcionan tan bien en una vasta disciplina como la biología, la física, la química, la economía, la ingeniería, etc. ¿Por qué no se observan generalmente en nuestra vida cotidiana?
Con sus amplios y avanzados usos, no es de extrañar que a algunas personas les resulte difícil. Sin embargo, con su notable capacidad, la gente dedica su tiempo y esfuerzo a analizar y describir sus comportamientos. Algunas personas pasan su juventud explorando y dominando sus conceptos y escarbando en él, explorando sus misterios. En efecto, es un reto y merece la pena conocer sus características y comportamientos, que desempeñan un papel importante en nuestro entorno, por lo que todos deberíamos apreciarlos.
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He intentado que estos apuntes sean lo más autocontenidos posible, por lo que toda la información necesaria para leerlos es de una clase de Cálculo o Álgebra o está contenida en otras secciones de los apuntes.
Conceptos básicos – En este capítulo introducimos muchos de los conceptos y definiciones básicas que se encuentran en un curso típico de ecuaciones diferenciales. También echaremos un vistazo a los campos de dirección y cómo pueden utilizarse para determinar algunos de los comportamientos de las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
Definiciones – En esta sección se introducen algunas de las definiciones y conceptos comunes en un curso de ecuaciones diferenciales, incluyendo orden, lineal vs. no lineal, condiciones iniciales, problema de valor inicial e intervalo de validez.