Fórmula dimensional de la fuerza
Nuestro mundo es tridimensional. Para facilitar el análisis, muchos movimientos pueden simplificarse a dos dimensiones. Por ejemplo, un objeto lanzado al aire se mueve en un plano vertical, bidimensional; también el movimiento horizontal sobre la superficie terrestre es bidimensional para distancias cortas. Se requiere un álgebra vectorial elemental para examinar las relaciones entre las cantidades vectoriales en dos dimensiones.
El vector A mostrado en la figura (a) representa una velocidad de 10 m/s al noreste, y el vector B representa una velocidad de 20 m/s a 30 grados al norte del este. (Un vector se nombra con una letra en negrita, sin cursiva, y su magnitud se nombra con la misma letra en cursiva. A menudo verás vectores en las figuras del libro que se representan por sus magnitudes en las expresiones matemáticas). Los vectores pueden moverse sobre el plano si se conservan la longitud y la dirección representadas.
En la figura (b), los mismos vectores se colocan para ser sumados geométricamente. La cola de un vector, en este caso A, se traslada a la cabeza del otro vector ( B). La suma de vectores ( C) es el vector que se extiende desde la cola de un vector hasta la cabeza del otro. Para hallar la magnitud de C, mide a lo largo de su longitud y utiliza la escala dada para determinar la velocidad representada. Para encontrar la dirección θ de C, mide el ángulo con el eje horizontal en la cola de C.
Fórmula dimensional
Ahora que ya dominamos la forma más sencilla de movimiento, es hora de pasar a casos más generales. El movimiento de los objetos ya no se limitará a moverse en línea recta. Por supuesto, esto significa que ya no podemos dejar que los simples valores positivos y negativos nos hablen de las direcciones: tenemos que introducir vectores en la historia. Afortunadamente, hemos desarrollado nuestras herramientas matemáticas vectoriales hasta el punto de poder utilizarlas.
Sin el lujo de poder describir la posición de un objeto con un único valor (positivo o negativo), ahora tenemos que hacerlo en términos de algo llamado vector de posición. Si asumimos que existe un sistema de coordenadas, la posición del objeto puede describirse mediante sus coordenadas, x, y y z. Estas también resultan ser las componentes del vector de posición, que definimos como el vector que apunta desde el origen al punto en el espacio:
Si un objeto se mueve de una posición a otra, está claro que se desplaza, y podemos describir este desplazamiento en términos de cambio de posición, como hicimos para el movimiento rectilíneo. La única diferencia es que aquí creamos un vector de desplazamiento:
Fórmula dimensional del volumen
En una dimensión, hemos escrito algunas ecuaciones generales que relacionan la velocidad con el desplazamiento y la aceleración con el cambio de velocidad. También escribimos las cuatro ecuaciones que se aplican en el caso especial en que la aceleración es constante. Vamos a hacer lo mismo en 2 dimensiones, y las ecuaciones serán similares; esto no debería sorprender porque, como veremos, un problema de dos (o tres) dimensiones siempre puede descomponerse en dos (o tres) problemas de 1 dimensión.
Cuando la aceleración es constante, podemos escribir cuatro ecuaciones que relacionan el desplazamiento, la velocidad inicial, la velocidad, la aceleración y el tiempo para cada dimensión. Al igual que las ecuaciones de 1D, éstas se aplican bajo las siguientes condiciones:
Si nos centramos en dos dimensiones, obtenemos cuatro ecuaciones para la dirección x y otras cuatro para la dirección y. Las cuatro ecuaciones en x implican sólo las componentes en x, mientras que las cuatro ecuaciones en y implican sólo las componentes en y.
Algo que probablemente no se puede enfatizar lo suficiente es que aunque un objeto pueda viajar en una trayectoria bidimensional (a menudo siguiendo una parábola, en el caso estándar de un objeto que se mueve sólo bajo la influencia de la gravedad), el movimiento siempre puede reducirse a dos movimientos unidimensionales independientes. El movimiento en la dirección x tiene lugar como si no se produjera el movimiento en la dirección y, y el movimiento en la dirección y tiene lugar independientemente de lo que ocurra en la dirección x.
Fórmula dimensional de la velocidad
En física, en particular en la relatividad especial y en la relatividad general, una cuatravelocidad es un cuatro-vector en el espaciotiempo cuatridimensional[nb 1] que representa la contrapartida relativista de la velocidad, que es un vector tridimensional en el espacio.
Los sucesos físicos corresponden a puntos matemáticos en el tiempo y el espacio, y el conjunto de todos ellos forma un modelo matemático del espaciotiempo físico cuatridimensional. La historia de un objeto traza una curva en el espaciotiempo, llamada su línea del mundo. Si el objeto tiene masa, de modo que su velocidad es necesariamente inferior a la de la luz, la línea del mundo puede parametrizarse mediante el tiempo propio del objeto. La cuatro-velocidad es la tasa de cambio de la cuatro-posición con respecto al tiempo propio a lo largo de la curva. La velocidad, en cambio, es la tasa de cambio de la posición en el espacio (tridimensional) del objeto, vista por un observador, con respecto al tiempo del observador.
El valor de la magnitud de la cuatravelocidad de un objeto, es decir, la cantidad que se obtiene aplicando el tensor métrico g a la cuatravelocidad U, es decir ||U||2 = U ⋅ U = gμνUνUμ, es siempre igual a ±c2, donde c es la velocidad de la luz. El hecho de que se aplique el signo positivo o negativo depende de la elección de la firma métrica. Para un objeto en reposo su cuatro-velocidad es paralela a la dirección de la coordenada temporal con U0 = c. Una cuatro-velocidad es, por tanto, el vector tangente normalizado dirigido al futuro de una línea del mundo, y es un vector contravariante. Aunque es un vector, la suma de dos cuatro velocidades no da lugar a una cuatro velocidad: el espacio de las cuatro velocidades no es en sí mismo un espacio vectorial[nb 2].