Cómo resolver una ecuación de segundo grado
Este artículo trata sobre las ecuaciones algebraicas de grado dos y sus soluciones. Para la fórmula utilizada para encontrar soluciones a dichas ecuaciones, véase Fórmula cuadrática. Para funciones definidas por polinomios de grado dos, véase Función cuadrática.
término. Los números a, b y c son los coeficientes de la ecuación y pueden distinguirse llamándolos, respectivamente, coeficiente cuadrático, coeficiente lineal y término constante o libre[1].
Los valores de x que satisfacen la ecuación se denominan soluciones de la misma, y raíces o ceros de la expresión en su lado izquierdo. Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos soluciones. Si sólo hay una solución, se dice que es una raíz doble. Si todos los coeficientes son números reales, hay dos soluciones reales, o una única raíz doble real, o dos soluciones complejas. Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces, si se incluyen las raíces complejas; y una raíz doble se cuenta por dos. Una ecuación cuadrática se puede factorizar en una ecuación equivalente
Ejemplos de ecuaciones de segundo grado
Simplificando la ecuación llegamos a que es verdadera todo el tiempo, no depende del valor de , por lo que no importa el valor de la ecuación siempre es verdadera, y como tiene infinitos valores posibles tenemos infinitas soluciones para esta ecuación.
Elegimos 2 valores de y obtenemos el valor respectivo de y luego graficamos los dos puntos en un plano y el nuevo trazamos la recta que pasa por los dos puntos, y la coordenada del punto de intersección de la recta y el eje x es la solución de la ecuación.
Llamamos ecuación de segundo grado, a toda ecuación con la forma estándar con , y siendo números reales y distintos de cero. Se llama ecuación de segundo grado porque la mayor potencia de en esta ecuación es 2 (es decir ).
Ahora la resolución es sencilla ya que tenemos el producto de dos de primer grado igual a cero entonces sabemos con seguridad que o el primer término del producto es igual a cero o el segundo es igual a cero, lo que significa que o , resolvemos cada término de primer grado del lado izquierdo, obtenemos:
Ecuación de segundo grado en dos variables
Las ecuaciones que incluyen incógnitas elevadas a una potencia de uno se conocen como ecuaciones de primer grado. También existen ecuaciones de segundo grado que incluyen al menos una variable elevada al cuadrado o a una potencia de dos. Las ecuaciones también pueden ser de tercer grado, de cuarto grado, etc. La ecuación de segundo grado más famosa es la ecuación cuadrática, que tiene la forma general ax2 +bx +c = 0; donde a, b y c son constantes y a no es igual a 0. La solución de este tipo de ecuación puede encontrarse a menudo mediante un método conocido como factorización.
Dado que la ecuación cuadrática es el producto de dos ecuaciones de primer grado, se puede factorizar en estas ecuaciones. Por ejemplo, el producto de las dos expresiones (x + 2)(x – 3) nos proporciona la expresión cuadrática x2 – x – 6. Las dos expresiones (x + 2) y (x – 3) se llaman factores de la expresión cuadrática x2 – x – 6. Al establecer cada factor de una ecuación cuadrática igual a cero, se pueden obtener soluciones. En esta ecuación cuadrática, las soluciones son x = -2 y x = 3.
Resolver ecuación de segundo grado en línea
Desde hace mucho tiempo, los matemáticos han mostrado un gran interés por resolver ecuaciones de segundo grado (también conocidas como ecuaciones cuadráticas), es decir, ecuaciones cuyo mayor grado contiene x2 (utilizando las notaciones modernas habituales). Así, el primer texto conocido que se refiere a estas últimas se remonta a dos mil años antes de nuestra era, en la época de los babilonios. Es entonces Al-Khwarizmi, durante el siglo IX, quien estableció las fórmulas para la resolución sistemática de estas ecuaciones (por favor, consulte los enlaces dados al final de este post para los aspectos históricos).
Hoy en día, la metodología para resolver ecuaciones de segundo grado se basa en su forma canónica. Por ejemplo, si consideramos la ecuación x2 + 2x – 3 = 0, el trinomio x2 + 2x – 3 es como el principio de una identidad notable. En efecto, podemos escribir:
Sabemos que un producto de términos es igual a cero si y sólo si al menos uno de los términos es igual a cero (esto se debe a que el cero es el elemento absorbente de la operación de multiplicación). Esta regla conduce, por tanto, al sistema: