10.7 sistemas de ecuaciones de segundo grado
Los polinomios o trinomios de segundo grado se estudian y utilizan principalmente en muchos campos de las matemáticas. Ya sea en el análisis, en el álgebra o incluso en la teoría de números o en la teoría de la probabilidad o en la geometría, estos polinomios están omnipresentes.
Los estudiantes de secundaria se encuentran con estos polinomios sin darse cuenta realmente en el momento en que descubren las primeras identidades notables. Más tarde, descubrió la función cuadrada. Pero las cosas empiezan a ponerse interesantes cuando se encuentran con la forma canónica, un encuentro no siempre muy agradable para la mayoría de los estudiantes. No obstante, hay que admitir que la forma canónica es una mezcla entre las identidades notables y el discriminante que los alumnos descubrirán mucho más tarde. Creo que la dificultad para entender la forma canónica radica en que los alumnos no han visto antes el discriminante. En cualquier caso, para mí, el encuentro del trío de identidades notables, forma canónica y discriminante tuvo un gran impacto en mi pasión por las matemáticas. Por eso, en una sucesión de vídeos, trataré un poco de teoría, pero sobre todo de práctica sobre cómo se pueden abordar ejercicios de ecuaciones cuadráticas y sistemas de suma y producto de ecuaciones.
Sistema de ecuaciones de segundo grado
Ejemploscolapsar todosResolver ecuación diferencial Abrir script en vivoResolver la ecuación diferencial de primer orden dydt=ay.Especificar la derivada de primer orden mediante diff y la ecuación mediante ==. Luego, resolver la ecuación mediante dsolve.syms y(t) a
S = dsolve(eqn)S = C1 ea tLa solución incluye una constante. Para eliminar las constantes, consulte Resolver ecuaciones diferenciales con condiciones. Para obtener un flujo de trabajo completo, consulte Resolución de ecuaciones diferenciales parciales.Resolver ecuación diferencial de segundo orden Abrir script en vivoResolver la ecuación diferencial de segundo orden d2ydt2=ay.Especifique la derivada de segundo orden de y mediante diff(y,t,2) y la ecuación mediante ==. A continuación, resuelva la ecuación mediante dsolve.syms y(t) a
ySol(t) = dsolve(eqn)ySol(t) = C1 e-a t+C2 ea tResolver ecuaciones diferenciales con condiciones Open Live ScriptResuelve la ecuación diferencial de primer orden dydt=ay con la condición inicial y(0)=5.Especifica la condición inicial como segunda entrada a dsolve utilizando el operador ==. La especificación de la condición elimina las constantes arbitrarias, como C1, C2, …, de la solución.syms y(t) a
Gráficas de ecuaciones de 2º grado
DSolve devuelve los resultados como listas de reglas. Esto hace posible devolver múltiples soluciones a una ecuación. Para un sistema de ecuaciones, posiblemente se agrupen múltiples conjuntos de soluciones. Puede utilizar las reglas para sustituir las soluciones en otros cálculos.
Una solución general contiene parámetros arbitrarios C[i] que pueden variarse para producir soluciones particulares para la ecuación. Cuando se especifica un número adecuado de condiciones iniciales, DSolve devuelve soluciones particulares a las ecuaciones dadas.
Cuando el segundo argumento de DSolve se especifica como y en lugar de y[x], la solución se devuelve como una función pura. Esta forma es útil para verificar la solución de la EDO y para utilizar la solución en trabajos posteriores. En “Configuración del problema” se ofrecen más detalles.
Mientras que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias implican constantes arbitrarias, las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales parciales implican funciones arbitrarias. DSolve etiqueta estas funciones arbitrarias como C[i].
El diseño de DSolve es modular: los algoritmos para las diferentes clases de problemas funcionan independientemente unos de otros. Una vez que se ha clasificado un problema (como se describe en “Clasificación de las ecuaciones diferenciales”), los métodos disponibles para esa clase se prueban en una secuencia específica hasta que se obtiene una solución. El código tiene una estructura jerárquica por la que la solución de problemas complejos se reduce a la solución de problemas relativamente más simples, para los que se dispone de una mayor variedad de métodos. Por ejemplo, las EDO de orden superior suelen resolverse reduciendo su orden a 1 ó 2.
Convertir una EDO de segundo orden en un sistema lineal de primer orden
Un sistema de ecuaciones polinómicas (a veces simplemente un sistema polinómico) es un conjunto de ecuaciones simultáneas f1 = 0, …, fh = 0 donde los fi son polinomios en varias variables, digamos x1, …, xn, sobre algún campo k.
Una solución de un sistema de polinomios es un conjunto de valores para las xis que pertenecen a alguna extensión de campo algebraicamente cerrado K de k, y hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas. Cuando k es el campo de los números racionales, generalmente se asume que K es el campo de los números complejos, porque cada solución pertenece a una extensión de campo de k, que es isomorfa a un subcampo de los números complejos.
Este artículo trata de los métodos para resolver, es decir, encontrar todas las soluciones o describirlas. Como estos métodos están diseñados para ser implementados en un ordenador, se hace hincapié en los campos k en los que el cálculo (incluyendo la comprobación de la igualdad) es fácil y eficiente, es decir, el campo de los números racionales y los campos finitos.
La búsqueda de soluciones que pertenezcan a un conjunto específico es un problema que suele ser mucho más difícil, y queda fuera del ámbito de este artículo, excepto para el caso de las soluciones en un campo finito dado. Para el caso de las soluciones cuyos componentes son todos números enteros o racionales, véase Ecuación diofantina.