Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias
Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones en las que las tasas de cambio se producen con respecto a las variables. Aprende a resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales por eliminación, utilizando un ejemplo paso a paso para reducir el sistema a una ecuación.
¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Una ecuación diferencial es una ecuación con derivadas. Una ecuación diferencial es lineal si no hay productos de variables dependientes y si todas las derivadas y variables dependientes están elevadas a la primera potencia. Cuando hay dos o más ecuaciones, tenemos un sistema. Este sistema está acoplado cuando en la misma ecuación hay diferentes variables dependientes.
Ahora, con los términos básicos fuera del camino, ¡vamos a resolver! Supongamos que tenemos dos variables dependientes, x e y, que representan la población de krills y yaks. Imagina que la tasa de variación de los yaks, dx/dt, depende negativamente del número de krills. Del mismo modo, en este mundo hipotético, la tasa de cambio de los krills, dy/dt, depende negativamente del número de yaks. Así, nuestro hipotético sistema acoplado de ecuaciones diferenciales lineales es:
Ecuaciones diferenciales de valores propios
plot!(sol.t, t->0.5*exp(1.01t),lw=3,ls=:dash,label=”¡Solución verdadera!”)donde las piezas se describen a continuación.Paso 1: Definir un problemaPara resolverlo numéricamente, definimos un tipo de problema dándole la ecuación, la condición inicial y el tiempo a resolver:using DifferentialEquations
0,438También se incluyen funciones de comodidad. Podemos construir un array utilizando una comprensión sobre las tuplas de solución mediante:[t+u para (u,t) en tuplas(sol)]o más generalmente[t+2u para (u,t) en zip(sol.u,sol.t)]permite utilizar más partes del tipo de solución. El objeto que se devuelve por defecto actúa como una solución continua a través de una interpolación. Podemos acceder a los valores interpolados tratando a sol como una función, por ejemplo:sol(0.45) # El valor de la solución en t=0.45Nótese la diferencia entre estos: la indexación con [i] es el valor en el iésimo paso, mientras que (t) es una interpolación en el tiempo t¡ Si en el solver dense=true (esto es lo que viene por defecto a menos que se use saveat), entonces esta interpolación es una interpolación de alto orden y por lo tanto suele coincidir con el error de los puntos temporales de la solución. Las interpolaciones asociadas a cada solucionador se detallan en la página del algoritmo del solucionador. Si dense=false (a menos que se establezca específicamente, esto sólo ocurre cuando save_everystep=false o saveat se utiliza) entonces esto da por defecto una interpolación lineal.Para más detalles sobre el manejo de la salida, ver la página de manejo de la solución.Trazado de solucionesAunque uno puede trazar directamente los puntos de tiempo de la solución utilizando las herramientas dadas anteriormente, los comandos de conveniencia son definidos por las recetas para Plots.jl. Para trazar el objeto solución, simplemente llame a plot:#]add Plots # ¡Necesita instalar Plots.jl antes de usarlo por primera vez!
Sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden
El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan mediante derivadas. Por ello, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es plantear una ecuación que contenga una función desconocida \ (y=f(x)\Ny su derivada, conocida como ecuación diferencial. La resolución de este tipo de ecuaciones suele proporcionar información sobre cómo cambian las cantidades y, con frecuencia, permite entender cómo y por qué se producen los cambios.
Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden adoptar muchas formas diferentes, incluyendo la solución directa, el uso de gráficos o los cálculos por ordenador. Presentamos las ideas principales en este capítulo y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles.
Consideremos la ecuación \(y′=3x^2,\) que es un ejemplo de ecuación diferencial porque incluye una derivada. Existe una relación entre las variables \(x\) y \(y:y\) es una función desconocida de \(x\). Además, el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de \(y\). Por lo tanto, podemos interpretar esta ecuación como sigue: Partimos de alguna función \(y=f(x)\Ny tomamos su derivada. La respuesta debe ser igual a \(3x^2\). ¿Qué función tiene una derivada que es igual a \(3x^2\)? Una de esas funciones es \(y=x^3\), por lo que esta función se considera una solución de una ecuación diferencial.
Cómo resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales
Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones en las que se producen tasas de cambio con respecto a las variables. Aprende a resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales por eliminación, utilizando un ejemplo paso a paso para reducir el sistema a una ecuación.
¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Una ecuación diferencial es una ecuación con derivadas. Una ecuación diferencial es lineal si no hay productos de variables dependientes y si todas las derivadas y variables dependientes están elevadas a la primera potencia. Cuando hay dos o más ecuaciones, tenemos un sistema. Este sistema está acoplado cuando en la misma ecuación hay diferentes variables dependientes.
Ahora, con los términos básicos fuera del camino, ¡vamos a resolver! Supongamos que tenemos dos variables dependientes, x e y, que representan la población de krills y yaks. Imagina que la tasa de variación de los yaks, dx/dt, depende negativamente del número de krills. Del mismo modo, en este mundo hipotético, la tasa de cambio de los krills, dy/dt, depende negativamente del número de yaks. Así, nuestro hipotético sistema acoplado de ecuaciones diferenciales lineales es: