Diferencia entre la eliminación de Gauss y Gauss-Jordan
En esta sección, aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante un proceso llamado método de Gauss-Jordan. El proceso comienza expresando primero el sistema como una matriz, y luego reduciéndolo a un sistema equivalente mediante simples operaciones de fila. El proceso continúa hasta que la solución es evidente a partir de la matriz. La matriz que representa el sistema se llama matriz aumentada, y la manipulación aritmética que se utiliza para pasar de un sistema a un sistema equivalente reducido se llama operación de fila.
Expresamos la información anterior en forma de matriz. Como un sistema está totalmente determinado por su matriz de coeficientes y por su matriz de términos constantes, la matriz aumentada incluirá sólo la matriz de coeficientes y la matriz de constantes. Así que la matriz aumentada que obtenemos es la siguiente:
En la última sección, expresamos el sistema de ecuaciones como \(AX = B\), donde \(A\) representaba la matriz de coeficientes, y \(B\) la matriz de términos constantes. Como una matriz aumentada, escribimos la matriz como \left[\begin{array}{l|l}A & B end{array}\right]\). Está claro que toda la información se mantiene en esta forma de matriz, y sólo faltan las letras \(x\), \(y\) y \(z\). El alumno puede optar por escribir \(x\), \(y\) y \(z\) encima de las tres primeras columnas para facilitar la transición.
Método de Gauss-Jordan pdf
En matemáticas, la eliminación de Gauss, también conocida como reducción de filas, es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en una secuencia de operaciones realizadas sobre la matriz de coeficientes correspondiente. Este método también puede utilizarse para calcular el rango de una matriz, el determinante de una matriz cuadrada y la inversa de una matriz invertible. El método lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), aunque algunos casos especiales del método -aunque presentados sin pruebas- ya eran conocidos por los matemáticos chinos hacia el año 179 de nuestra era[1].
Para llevar a cabo la reducción de filas en una matriz, se utiliza una secuencia de operaciones elementales de fila para modificar la matriz hasta que la esquina inferior izquierda de la matriz se llena de ceros, tanto como sea posible. Hay tres tipos de operaciones elementales de fila:
Utilizando estas operaciones, una matriz siempre puede transformarse en una matriz triangular superior, y de hecho en una que esté en forma escalonada. Una vez que todos los coeficientes principales (la entrada más a la izquierda que no es cero en cada fila) son 1, y cada columna que contiene un coeficiente principal tiene ceros en otra parte, se dice que la matriz está en forma escalonada reducida. Esta forma final es única; en otras palabras, es independiente de la secuencia de operaciones de fila utilizadas. Por ejemplo, en la siguiente secuencia de operaciones de fila (en la que se realizan dos operaciones elementales en filas diferentes en el primer y tercer paso), las matrices tercera y cuarta son las que están en forma escalonada, y la matriz final es la única forma escalonada reducida.
Método de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones
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Después de unas cuantas lecciones en las que hemos mencionado repetidamente que estamos cubriendo los fundamentos necesarios para aprender después a resolver sistemas de ecuaciones lineales, ha llegado el momento de que nuestra lección se centre en la metodología completa a seguir para encontrar las soluciones de dichos sistemas.
Calculadora de Gauss-Jordan
Aquí puede resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando la calculadora de eliminación de Gauss-Jordan con números complejos en línea de forma gratuita con una solución muy detallada. Nuestra calculadora es capaz de resolver sistemas con una única solución así como sistemas indeterminados que tienen infinitas soluciones. En ese caso obtendrá la dependencia de una de las variables con respecto a las otras que se denominan libres. También puede comprobar la consistencia de su sistema lineal de ecuaciones utilizando nuestra calculadora de eliminación de Gauss-Jordan.