Eliminación gaussiana
El propósito de este artículo es describir cómo se encuentran realmente las soluciones de un sistema lineal. La idea fundamental es añadir múltiplos de una ecuación a las demás para eliminar una variable y continuar este proceso hasta que sólo quede una variable. Una vez determinada esta última variable, su valor se vuelve a sustituir en las otras ecuaciones para evaluar las incógnitas restantes. Este método, caracterizado por la eliminación paso a paso de las variables, se denomina eliminación gaussiana.
Esta ecuación final, -5 y = -5, implica inmediatamente y = 1. La sustitución inversa de y = 1 en la primera ecuación original, x + y = 3, da como resultado x = 2. (La sustitución inversa de y = 1 en la segunda ecuación original, 3 x – 2 y = 4, también daría como resultado x = 2). La solución de este sistema es, por tanto, (x, y) = (2, 1), tal y como se indicó en el ejemplo 1.
La eliminación gaussiana suele realizarse mediante matrices. Este método reduce el esfuerzo para encontrar las soluciones al eliminar la necesidad de escribir explícitamente las variables en cada paso. El ejemplo anterior se rehará utilizando matrices.
Preguntas y respuestas sobre sistemas de ecuaciones lineales
Después de unas cuantas lecciones en las que hemos mencionado repetidamente que estamos cubriendo los fundamentos necesarios para luego aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales, ha llegado el momento de que nuestra lección se centre en la metodología completa a seguir para encontrar las soluciones de dichos sistemas.
La eliminación gaussiana es el nombre del método que utilizamos para realizar los tres tipos de operaciones con filas de matrices en una matriz aumentada procedente de un sistema lineal de ecuaciones con el fin de encontrar las soluciones de dicho sistema. Esta técnica también se denomina reducción de filas y consta de dos etapas: Eliminación hacia delante y sustitución hacia atrás.
Estas dos etapas del método de eliminación de Gauss se diferencian no por las operaciones que se pueden utilizar a través de ellas, sino por el resultado que producen. La etapa de eliminación hacia adelante se refiere a la reducción de filas necesaria para simplificar la matriz en cuestión a su forma escalonada. Dicha etapa tiene el propósito de demostrar si el sistema de ecuaciones representado en la matriz tiene una única solución posible, infinitas soluciones o simplemente ninguna solución. Si se encuentra que el sistema no tiene solución, entonces no hay razón para continuar reduciendo la matriz en la siguiente etapa.
Cómo resolver sistemas lineales
El método de eliminación de Gauss, también llamado método de reducción de filas, es un algoritmo utilizado para resolver un sistema de ecuaciones lineales con una matriz. El método de eliminación de Gauss consiste en expresar un sistema lineal en forma de matriz y aplicar operaciones elementales de fila a la matriz para encontrar el valor de las incógnitas.
Sin embargo, para entender cómo funciona la eliminación de Gauss, primero debemos saber cómo expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y qué operaciones de fila se pueden calcular. Por lo tanto, explicaremos primero estas dos cosas y luego veremos cómo aplicar el método de eliminación de Gauss.
En álgebra lineal, un sistema de ecuaciones puede expresarse en forma matricial: los coeficientes de la incógnita x corresponden a la primera columna de la matriz, los coeficientes de la incógnita y a la segunda columna, los coeficientes de la incógnita z a la tercera columna y las constantes a la cuarta columna.
Por ejemplo, el número -1, que es el primer elemento de la segunda fila, es el negativo de 1, el primer elemento de la primera fila. Por tanto, si sumamos la primera fila a la segunda, el -1 se eliminará:
Eliminación gaussiana c++
En matemáticas, la eliminación gaussiana, también conocida como reducción de filas, es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en una secuencia de operaciones realizadas sobre la matriz de coeficientes correspondiente. Este método también puede utilizarse para calcular el rango de una matriz, el determinante de una matriz cuadrada y la inversa de una matriz invertible. El método lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), aunque algunos casos especiales del método -aunque presentados sin pruebas- ya eran conocidos por los matemáticos chinos hacia el año 179 de nuestra era[1].
Para llevar a cabo la reducción de filas en una matriz, se utiliza una secuencia de operaciones elementales de fila para modificar la matriz hasta que la esquina inferior izquierda de la matriz se llena de ceros, tanto como sea posible. Hay tres tipos de operaciones elementales de fila:
Utilizando estas operaciones, una matriz siempre puede transformarse en una matriz triangular superior, y de hecho en una que esté en forma escalonada. Una vez que todos los coeficientes principales (la entrada más a la izquierda que no es cero en cada fila) son 1, y cada columna que contiene un coeficiente principal tiene ceros en otra parte, se dice que la matriz está en forma escalonada reducida. Esta forma final es única; en otras palabras, es independiente de la secuencia de operaciones de fila utilizadas. Por ejemplo, en la siguiente secuencia de operaciones de fila (en la que se realizan dos operaciones elementales en filas diferentes en el primer y tercer paso), las matrices tercera y cuarta son las que están en forma escalonada, y la matriz final es la única forma escalonada reducida.