Método de reducción en matemáticas
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es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x, y, z. Una solución de un sistema lineal es una asignación de valores a las variables tal que todas las ecuaciones se satisfacen simultáneamente. Una solución del sistema anterior viene dada por la siguiente tripleta ordenada.
En matemáticas, la teoría de los sistemas lineales es la base y una parte fundamental del álgebra lineal, materia que se utiliza en la mayor parte de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica, y desempeñan un papel destacado en ingeniería, física, química, informática y economía. Un sistema de ecuaciones no lineales puede aproximarse a menudo mediante un sistema lineal (véase linealización), una técnica útil cuando se hace un modelo matemático o una simulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.
Método de reducción en la integración
Resolveremos sistemas de ecuaciones lineales de forma algebraica utilizando el método de eliminación. Es decir, combinaremos las ecuaciones de diversas formas para intentar eliminar el mayor número de variables posible de cada ecuación. Hay tres operaciones válidas que podemos realizar en nuestro sistema de ecuaciones:
Esto se llama matriz aumentada. La palabra “aumentada” se refiere a la línea vertical, que dibujamos para recordarnos dónde está el signo de igualdad; una matriz es una cuadrícula de números sin la línea vertical.Matrices aumentadas de ecuaciones vectoriales
Por supuesto, esto no significa que la segunda fila sea igual a la segunda fila menos el doble de la primera. En cambio, significa que estamos sustituyendo la segunda fila por la segunda fila menos el doble de la primera. Este tipo de sintaxis se utiliza con frecuencia en la programación informática cuando queremos cambiar el valor de una variable.
El proceso de hacer operaciones de fila a una matriz no cambia el conjunto de soluciones de las ecuaciones lineales correspondientes, de hecho, el objetivo de hacer estas operaciones es resolver las ecuaciones utilizando el método de eliminación.
Ejemplos de métodos de reducción
Vamos a resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma algebraica utilizando el método de eliminación. Es decir, combinaremos las ecuaciones de diversas formas para intentar eliminar el mayor número de variables posible de cada ecuación. Hay tres operaciones válidas que podemos realizar en nuestro sistema de ecuaciones:
En este punto hemos eliminado tanto \(x\) como \(y\) de la tercera ecuación, y podemos resolver \(10z=30\) para obtener \(z=3\). Sustituyendo por \(z\) en la segunda ecuación se obtiene \(y+2\cdot3=4\text{,}\) o \(y=-2\). Sustituyendo \(y\) y \(z\) en la primera ecuación da \(x + 2\cdot(-2) + 3\cdot3 = 6\text{,}) o \(x=3\). Por lo tanto, la única solución es \((x,y,z)=(1,-2,3)\N.)
Resolver ecuaciones por eliminación requiere escribir las variables \(x,y,z\) y el signo de igualdad \(=\) una y otra vez, simplemente como marcadores de posición: todo lo que está cambiando en las ecuaciones son los números de los coeficientes. Podemos facilitarnos la vida extrayendo sólo los números y poniéndolos en una caja:
Esto se llama matriz aumentada. La palabra “aumentada” se refiere a la línea vertical, que dibujamos para recordar dónde está el signo de igualdad; una matriz es una cuadrícula de números sin la línea vertical. En esta notación, nuestras tres formas válidas de manipular nuestras ecuaciones se convierten en operaciones de fila:
Fórmula del método de reducción
Obtenga el máximo viendo este tema en su grado actual. Elige tu curso ahora. IntroducciónLecciones Ahora que hemos aprendido a representar un sistema lineal como una matriz, ¡podemos resolver esta matriz para resolver el sistema lineal! Utilizamos un método llamado “eliminación gaussiana”. Este método implica muchas operaciones con filas de la matriz. Nuestro objetivo es hacer que todas las entradas de la parte inferior izquierda de la matriz sean 0. Una vez hecho esto, echamos un vistazo a la última fila y la convertimos en un sistema lineal. A continuación, resolvemos la variable. Luego miramos la penúltima fila, la convertimos en un sistema lineal y resolvemos para la otra variable. Repite la operación y encontrarás todas las variables que resuelven el sistema lineal Resolver un sistema lineal con matrices utilizando la eliminación de Gauss
Después de unas cuantas lecciones en las que hemos mencionado repetidamente que estamos cubriendo los fundamentos necesarios para aprender después a resolver sistemas de ecuaciones lineales, ha llegado el momento de que nuestra lección se centre en la metodología completa a seguir para encontrar las soluciones de dichos sistemas.