3 ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales en dos variables
Un fabricante de monopatines introduce una nueva línea de tablas. El fabricante hace un seguimiento de sus costes, que es la cantidad que gasta para producir las tablas, y de sus ingresos, que es la cantidad que gana con las ventas de sus tablas. ¿Cómo puede determinar la empresa si está obteniendo beneficios con su nueva línea? ¿Cuántas tablas de skate deben producirse y venderse para obtener un beneficio? En esta sección consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder a estas y otras preguntas similares.
Para investigar situaciones como la del fabricante de monopatines, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para encontrar la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber al menos tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
Desigualdad con 2 variables
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si tu dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de tu dispositivo (deberías poder desplazarte para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Antes de hablar de cómo resolver sistemas, deberíamos hablar de lo que es una solución de un sistema de ecuaciones. Una solución de un sistema de ecuaciones es un valor de \(x\) y un valor de \(y\) que, cuando se sustituye en las ecuaciones, satisface ambas ecuaciones al mismo tiempo.
Nótese que es importante que el par de números satisfaga ambas ecuaciones. Por ejemplo, \(x = 1\) y \(y = – 4\) satisfará la primera ecuación, pero no la segunda y por lo tanto no es una solución del sistema. Del mismo modo, \(x = – 1\) y \(y = 1\) satisfará la segunda ecuación, pero no la primera y por lo tanto no puede ser una solución del sistema.
Cómo resolver 2 ecuaciones con 2 variables
Un sistema de una ecuación lineal comprende dos o más ecuaciones y se busca una solución común a las ecuaciones. En un sistema de ecuaciones lineales, cada ecuación se corresponde con una recta y se busca el punto de intersección de las dos rectas.
Cuando se utiliza el método de sustitución se aprovecha el hecho de que si dos expresiones y y x tienen el mismo valor x=y, entonces x puede sustituir a y o viceversa en otra expresión sin cambiar el valor de la expresión.
El método de eliminación requiere que sumemos o restemos las ecuaciones para eliminar x o y, a menudo no se puede proceder a la suma directamente sin multiplicar primero la primera o la segunda ecuación por algún valor.
Resolución de ecuaciones lineales con 2 variables
Los sistemas de ecuaciones con más de dos variables son posibles. Una ecuación lineal en tres variables podría representarse por la ecuación ax + by + cz = k, donde a, b, c y k son constantes y x, y y z son variables. Para estos sistemas, el conjunto de soluciones contendría todas las tripletas de números que hacen que la ecuación sea verdadera. Para obtener la solución de cualquier sistema de ecuaciones, el número de incógnitas debe ser igual al número de ecuaciones disponibles. Así, para resolver un sistema en tres variables, deben existir tres ecuaciones diferentes que relacionen las incógnitas.
Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables son análogos a los métodos utilizados para resolver un sistema de dos variables e incluyen la gráfica, la sustitución y la eliminación. Hay que tener en cuenta que las gráficas de estos sistemas se representan mediante planos geométricos en lugar de líneas. Las soluciones por sustitución y eliminación, aunque más complejas, son similares a las de los sistemas de dos variables.
Para los sistemas de ecuaciones con más de tres ecuaciones y tres incógnitas, los métodos de graficación y sustitución no son prácticos para determinar una solución. Las soluciones para este tipo de sistemas se determinan utilizando una invención matemática conocida como matriz. Una matriz se representa mediante una matriz rectangular de números escritos entre paréntesis. Cada número de una matriz se conoce como un elemento. Las matrices se clasifican por su número de filas y columnas.