Hoja de trabajo de resolución de sistemas de ecuaciones por sustitución
Normalmente, cuando se utiliza el método de sustitución, una ecuación y una de las variables conducen a una solución rápida más fácilmente que la otra. Esto se ilustra con la selección de x y la segunda ecuación en el siguiente ejemplo.
Si el método de sustitución produce una sentencia que siempre es verdadera, como 0 = 0, entonces el sistema es dependiente, y cualquiera de las ecuaciones originales es una solución. Si el método de sustitución produce una sentencia que siempre es falsa, como 0 = 5, entonces el sistema es inconsistente, y no hay solución.
Resolución de sistemas de ecuaciones por eliminación
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Antes de entrar en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de sustitución, vamos a considerar y entender primero lo que significa “resolver” un sistema de ecuaciones. Cuando decimos “resolver”, con respecto a la ecuación lineal, cuadrática, exponencial, o cualquier otro tipo de ecuación, lo que realmente queremos decir es que estamos tratando de encontrar los valores de ‘x’ – la variable dependiente – que satisfacen ‘y’ – la variable independiente.
En esta ecuación de ejemplo, sabemos que y es igual a 2x y también es igual a 2. Con ese conocimiento, como y es igual a 2x y a 2, podemos decir que 2x = 2. Entonces, el siguiente paso natural es resolver esta ecuación usando el álgebra, dándonos la “solución” de que x = 1.
Calculadora de sustitución de sistemas de ecuaciones
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficas es una buena manera de visualizar los tipos de soluciones que pueden resultar. Sin embargo, hay muchos casos en los que la resolución de un sistema mediante una gráfica es inconveniente o imprecisa. Si las gráficas se extienden más allá de la pequeña cuadrícula con x e y ambas entre -10 y 10, graficar las líneas puede ser engorroso. Y si las soluciones del sistema no son números enteros, puede ser difícil leer sus valores con precisión en una gráfica.
Después de encontrar el valor de una variable, sustituiremos ese valor en una de las ecuaciones originales y resolveremos la otra variable. Por último, comprobamos nuestra solución y nos aseguramos de que hace ciertas ambas ecuaciones.
Copiaremos aquí la estrategia de resolución de problemas que utilizamos en la sección Resolución de sistemas de ecuaciones mediante gráficos para resolver sistemas de ecuaciones. Ahora que sabemos cómo resolver sistemas por sustitución, eso es lo que haremos en el Paso 5.
A algunas personas les resulta más fácil plantear problemas de palabras con dos variables que con una sola. La elección de los nombres de las variables es más fácil cuando todo lo que hay que hacer es escribir dos letras. Piensa en el siguiente ejemplo: ¿cómo lo habrías hecho con una sola variable?
Método de sustitución
Tenemos otro ejemplo en el que el sistema de ecuaciones original se resuelve fácilmente utilizando la sustitución. En este caso, ambas ecuaciones ya están resueltas para una variable; por lo tanto, podemos sustituir una expresión por y y ¡resolver! Observa que tenemos una ecuación con variables en ambos lados.
Veamos otro ejemplo en el que encontrarás que no puedes resolver el sistema. ¿Qué ocurre cuando no puedes resolver? ¡No tendrás solución! Presta mucha atención al último paso de la solución.
¡Tenemos un problema! 6x- 6x = 0. Como mis términos de x se anulan, nos queda 4 = -8. Esta no es una afirmación verdadera, por lo que no es una solución. Esto significa que NO HAY SOLUCIÓN para este sistema de ecuaciones. ¿Puedes imaginar qué tipo de gráfico representa este sistema? Este es un ejemplo de lo que ocurrirá si utilizas el método de sustitución y no hay soluciones. El resultado final no tendrá sentido.