Solución numérica de ecuaciones diferenciales
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación diferencial que contiene una o más funciones de una variable independiente y las derivadas de esas funciones[1] El término ordinario se utiliza en contraste con el término ecuación diferencial parcial que puede ser con respecto a más de una variable independiente[2].
Entre las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales lineales juegan un papel destacado por varias razones. La mayoría de las funciones elementales y especiales que se encuentran en la física y la matemática aplicada son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales (véase Función holonómica). Cuando los fenómenos físicos se modelan con ecuaciones no lineales, generalmente se aproximan mediante ecuaciones diferenciales lineales para facilitar su solución. Las pocas EDO no lineales que pueden resolverse de forma explícita suelen resolverse transformando la ecuación en una EDO lineal equivalente (véase, por ejemplo, la ecuación de Riccati).
Algunas EDO pueden resolverse explícitamente en términos de funciones e integrales conocidas. Cuando esto no es posible, puede ser útil la ecuación para calcular la serie de Taylor de las soluciones. Para los problemas aplicados, los métodos numéricos para las ecuaciones diferenciales ordinarias pueden proporcionar una aproximación de la solución.
Solución general de la ecuación diferencial
Ejemploscolapsar todosResolver ecuación diferencial Abrir script en vivoResolver la ecuación diferencial de primer orden dydt=ay.Especificar la derivada de primer orden mediante diff y la ecuación mediante ==. Luego, resolver la ecuación mediante dsolve.syms y(t) a
S = dsolve(eqn)S = C1 ea tLa solución incluye una constante. Para eliminar las constantes, consulta Resolver ecuaciones diferenciales con condiciones. Para obtener un flujo de trabajo completo, consulte Resolución de ecuaciones diferenciales parciales.Resolver ecuación diferencial de segundo orden Abrir script en vivoResolver la ecuación diferencial de segundo orden d2ydt2=ay.Especifique la derivada de segundo orden de y mediante diff(y,t,2) y la ecuación mediante ==. A continuación, resuelva la ecuación mediante dsolve.syms y(t) a
ySol(t) = dsolve(eqn)ySol(t) = C1 e-a t+C2 ea tResolver ecuaciones diferenciales con condiciones Open Live ScriptResolver la ecuación diferencial de primer orden dydt=ay con la condición inicial y(0)=5.Especificar la condición inicial como segunda entrada a dsolve mediante el operador ==. La especificación de la condición elimina las constantes arbitrarias, como C1, C2, …, de la solución.syms y(t) a
Solución singular de la ecuación diferencial
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He intentado que estos apuntes sean lo más autocontenidos posible, por lo que toda la información necesaria para leerlos es de una clase de Cálculo o Álgebra o está contenida en otras secciones de los apuntes.
Conceptos básicos – En este capítulo introducimos muchos de los conceptos y definiciones básicas que se encuentran en un curso típico de ecuaciones diferenciales. También echaremos un vistazo a los campos de dirección y cómo pueden utilizarse para determinar algunos de los comportamientos de las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
Definiciones – En esta sección se introducen algunas de las definiciones y conceptos comunes en un curso de ecuaciones diferenciales, incluyendo orden, lineal vs. no lineal, condiciones iniciales, problema de valor inicial e intervalo de validez.
Solución de ejemplos de ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función con una o varias de sus derivadas. En la mayoría de las aplicaciones, las funciones representan cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación define una relación entre ellas.
En este artículo, mostramos las técnicas necesarias para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias cuyas soluciones pueden escribirse en términos de funciones elementales: polinomios, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas y sus inversas. Muchas de estas ecuaciones se encuentran en la vida real, pero la mayoría de las demás no pueden resolverse con estas técnicas, sino que requieren que la respuesta se escriba en términos de funciones especiales, series de potencias o se calcule numéricamente.
En este artículo se asume que se tiene una buena comprensión del cálculo diferencial e integral, así como algunos conocimientos de las derivadas parciales. También se recomienda tener algunos conocimientos de álgebra lineal para la teoría que hay detrás de las ecuaciones diferenciales, especialmente para la parte relativa a las ecuaciones diferenciales de segundo orden, aunque la resolución real de las mismas sólo requiere conocimientos de cálculo.