Fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática
Cuando resolvimos ecuaciones cuadráticas en la última sección completando el cuadrado, seguimos siempre los mismos pasos. Al final del conjunto de ejercicios, te habrás preguntado “¿no hay una forma más fácil de hacer esto?”. La respuesta es “sí”. Los matemáticos buscan patrones cuando hacen las cosas una y otra vez para facilitar su trabajo. En este apartado deduciremos y utilizaremos una fórmula para encontrar la solución de una ecuación cuadrática.
Ya hemos visto cómo resolver una fórmula para una variable específica “en general”, de modo que haríamos los pasos algebraicos una sola vez, y luego usaríamos la nueva fórmula para encontrar el valor de la variable específica. Ahora recorreremos los pasos para completar el cuadrado utilizando la forma general de una ecuación cuadrática para resolver una ecuación cuadrática para x.
Para utilizar la fórmula cuadrática, sustituimos los valores de a, b y c de la forma estándar en la expresión del lado derecho de la fórmula. Luego simplificamos la expresión. El resultado es el par de soluciones de la ecuación cuadrática.
Forma general de la ecuación cuadrática en términos de raíces
Muchas ecuaciones cuadráticas no se pueden resolver mediante la factorización. Esto es generalmente cierto cuando las raíces, o las respuestas, no son números racionales. Un segundo método para resolver ecuaciones cuadráticas implica el uso de la siguiente fórmula:
Al utilizar la fórmula cuadrática, debes tener en cuenta tres posibilidades. Estas tres posibilidades se distinguen por una parte de la fórmula llamada discriminante. El discriminante es el valor bajo el signo radical, b 2 – 4 ac. Una ecuación cuadrática con números reales como coeficientes puede tener lo siguiente:
No tiene solución en el sistema de números reales. Te puede interesar saber que el proceso de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas se utilizó en la ecuación ax 2 + bx + c = 0 para derivar la fórmula cuadrática.
Resolución de ecuaciones cuadráticas
Las ecuaciones cuadráticas son expresiones algebraicas de segundo grado y son de la forma ax2 + bx + c = 0. La palabra “cuadrática” deriva de la palabra “Quad” que significa cuadrado. En otras palabras, una ecuación cuadrática es una “ecuación de grado 2”. Hay muchos escenarios en los que se utiliza una ecuación cuadrática. ¿Sabías que cuando se lanza un cohete, su trayectoria se describe mediante una ecuación cuadrática? Además, una ecuación cuadrática tiene numerosas aplicaciones en física, ingeniería, astronomía, etc.
Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de segundo grado en x que tienen como máximo dos respuestas para x. Estas dos respuestas para x también se llaman raíces de las ecuaciones cuadráticas y se designan como (α, β). Aprenderemos más sobre las raíces de una ecuación cuadrática en el siguiente contenido.
Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado en x. La ecuación cuadrática en su forma estándar es ax2 + bx + c = 0, donde a y b son los coeficientes, x es la variable y c es el término constante. La primera condición para que una ecuación sea cuadrática es que el coeficiente de x2 sea un término distinto de cero (a ≠0). Para escribir una ecuación cuadrática en forma estándar, se escribe primero el término de x2, seguido del término de x y, por último, se escribe el término constante. Los valores numéricos de a, b, c generalmente no se escriben como fracciones o decimales sino que se escriben como valores integrales.
B 2 4ac
A menudo, la forma más sencilla de resolver “ax2 + bx + c = 0” para el valor de x es factorizar la cuadrática, establecer cada factor igual a cero y luego resolver cada factor. Pero a veces la cuadrática es demasiado complicada, o no se factoriza en absoluto, o, diablos, tal vez simplemente no te apetece factorizar. Aunque la factorización no siempre va a tener éxito, la Fórmula Cuadrática siempre puede encontrar las respuestas por ti.
La Fórmula Cuadrática utiliza los “a”, “b” y “c” de “ax2 + bx + c”, donde “a”, “b” y “c” son sólo números; son los “coeficientes numéricos” de la ecuación cuadrática que te han dado para resolver.
Advertencias: El “2a” del denominador de la Fórmula está debajo de todo lo anterior, no sólo de la raíz cuadrada. Y es un “2a” debajo, no un simple “2”. Asegúrate de que tienes cuidado de no dejar caer la raíz cuadrada o el “más/menos” en medio de tus cálculos, o te garantizo que te olvidarás de “volver a ponerlos” en tu examen, y te liarás. Recuerda que “b2” significa “el cuadrado de TODO b, incluido su signo”, así que no dejes que b2 sea negativo, aunque b sea negativo, porque el cuadrado de un negativo es un positivo.