Problema del valor inicial
Aunque existen métodos para resolver algunas ecuaciones no lineales, es imposible encontrar fórmulas útiles para las soluciones de la mayoría. Tanto si buscamos soluciones exactas como aproximaciones numéricas, es útil conocer las condiciones que implican la existencia y unicidad de las soluciones de los problemas de valor inicial de las ecuaciones no lineales. En esta sección enunciamos tal condición y la ilustramos con ejemplos.
El siguiente teorema da condiciones suficientes para la existencia y unicidad de soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. Omitimos la demostración, que está fuera del alcance de este libro.
que difieren en cada intervalo abierto que contiene a \(b\). Por lo tanto \(f\) o \(f_y\) debe tener una discontinuidad en algún punto de cada rectángulo abierto que contenga \((b, y)\), ya que si no fuera así, \ref{ec:2.3.2} tendría una solución única en algún intervalo abierto que contenga \(b\). Dejamos que se haga un análisis similar del caso en el que \(a > -∞\\}).
Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales
ResumenEl proceso canónico es un proceso incierto continuo de Lipschitz con incrementos estacionarios e independientes, y la ecuación diferencial incierta es un tipo de ecuaciones diferenciales conducidas por el proceso canónico. Este artículo presenta algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales inciertas, y demuestra un teorema de existencia y unicidad de la solución para la ecuación diferencial incierta bajo la condición de Lipschitz y la condición de crecimiento lineal.
Fuzzy Optim Decis Making 9, 69-81 (2010). https://doi.org/10.1007/s10700-010-9073-2Download citationShare this articleAnyone you share the following link with will be able to read this content:Get shareable linkSorry, a shareable link is not currently available for this article.Copy to clipboard
Solución particular de la ecuación diferencial
Si ¶(x’ = f(t, x)\N) y \N(x(t_0) = x_0\) es una ecuación diferencial lineal, ya hemos demostrado que existe una solución y es única. Ahora abordaremos la cuestión de la existencia y la unicidad de las soluciones para todas las ecuaciones diferenciales de primer orden. La existencia y la unicidad de las soluciones serán muy importantes, incluso cuando consideremos las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.
existe una solución única \(u = u(t)\) para \(x’ = f(t, x)\) y \(x(t_0) = x_0\) en algún intervalo \(|t – t_0| \lt h\) contenido en el intervalo \(|t – t_0| \lt a\text{.})Examinemos algunas consecuencias de la existencia y unicidad de soluciones.
Esto es especialmente problemático si buscamos soluciones de equilibrio. Aunque \(y’ = y^{1/3}\) es una ecuación diferencial autónoma, no hay solución de equilibrio en \(y = 0\text{.}\} El problema es que
Supongamos que \(y’ = y^2\) con \(y(0) = 1\text{.}\} Dado que \(f(t,y) = y^2\) y \(\parcial f/ \parcial y = 2y\) son continuos en todas partes, existe una solución única cerca de \(t = 0text{.}\} Separando las variables,
Ecuaciones diferenciales acopladas
La prueba se basa en la transformación de la ecuación diferencial y en la aplicación de la teoría del punto fijo. Integrando ambos lados, cualquier función que satisfaga la ecuación diferencial debe satisfacer también la ecuación integral
), la solución estacionaria es y(t) = 0, que se obtiene para la condición inicial y(0) = 0. A partir de otra condición inicial y(0) = y0 ≠ 0, la solución y(t) tiende hacia el punto estacionario, pero lo alcanza sólo en el límite del tiempo infinito, por lo que la unicidad de las soluciones (sobre todos los tiempos finitos) está garantizada.
Sin embargo, para una ecuación en la que la solución estacionaria se alcanza después de un tiempo finito, la unicidad falla. Esto ocurre, por ejemplo, con la ecuación dy/dt = ay 2/3, que tiene al menos dos soluciones correspondientes a la condición inicial y(0) = 0 como: y(t) = 0 o
por lo que el estado anterior del sistema no está determinado unívocamente por su estado después de t = 0. El teorema de unicidad no se aplica porque la función f (y) = y 2/3 tiene una pendiente infinita en y = 0 y, por lo tanto, no es continua de Lipschitz, violando la hipótesis del teorema.