Solución de la ecuación diferencial de primer orden
Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias son métodos utilizados para encontrar aproximaciones numéricas a las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Su uso también se conoce como “integración numérica”, aunque este término también puede referirse al cálculo de integrales.
Muchas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse mediante el cálculo simbólico (“análisis”). Sin embargo, para fines prácticos -como en la ingeniería- suele ser suficiente una aproximación numérica a la solución. Los algoritmos estudiados aquí pueden utilizarse para calcular dicha aproximación. Un método alternativo es utilizar técnicas de cálculo para obtener una expansión en serie de la solución.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se dan en muchas disciplinas científicas, como la física, la química, la biología y la economía[1] Además, algunos métodos de ecuaciones diferenciales parciales numéricas convierten la ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria, que luego debe resolverse.
Sin perder la generalidad de los sistemas de orden superior, nos limitamos a las ecuaciones diferenciales de primer orden, porque una EDO de orden superior puede convertirse en un sistema más grande de ecuaciones de primer orden introduciendo variables adicionales. Por ejemplo, la ecuación de segundo orden y′′ = -y puede reescribirse como dos ecuaciones de primer orden: y′ = z y z′ = -y.
Tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden pdf
¶En muchos campos como la física, la biología o los negocios, a menudo se conoce o se supone una relación entre alguna cantidad desconocida y su tasa de cambio, que no implica ninguna derivada superior. Por lo tanto, es interesante estudiar las ecuaciones diferenciales de primer orden en particular.
Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación de la forma \(F(t, y, y’)=0text{.}\) Una solución de una ecuación diferencial de primer orden es una función \(f(t)\) que hace que \ds F(t,f(t),f'(t))=0\) para todo valor de \(t\text{. Se entiende que la variable \ds F(t,f(t,f’))=0) para cualquier valor de \text{…}) Aquí, \ds F es una función de tres variables que etiquetamos como \text{,}) \ts{,} y \ts{,}) Se entiende que \ts{,} aparecerá explícitamente en la ecuación, aunque \ts{,t} y \ts{,y} no es necesario. La propia variable \(y\) depende de \(t\text{,}\) por lo que se entiende que \(y’\) debe ser la derivada de \(y\) con respecto a \(t\text{,}\) Dado que sólo aparece la primera derivada de \(y\), pero ninguna derivada de orden superior, se trata de una ecuación diferencial de primer orden.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pdf
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una ecuación de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds =ky\text{.}
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.
Ecuación diferencial lineal de primer orden
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Como veremos en este capítulo, no existe una fórmula general para la solución de \(\eqref{eq:eq1}\). Lo que haremos en su lugar es ver varios casos especiales y ver cómo resolverlos. También veremos algo de la teoría detrás de las ecuaciones diferenciales de primer orden, así como algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. A continuación se muestra una lista de los temas tratados en este capítulo.
Ecuaciones lineales – En esta sección resolvemos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, es decir, ecuaciones diferenciales de la forma \(y’ + p(t) y = g(t)\Nde). Damos una visión general en profundidad del proceso utilizado para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales, así como una derivación de la fórmula necesaria para el factor integrador utilizado en el proceso de solución.