Ejemplos de transformación de Laplace
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Antes de pasar a las ecuaciones diferenciales necesitaremos una fórmula más. Necesitaremos saber cómo tomar la transformada de Laplace de una derivada. En primer lugar recordar que \ (f^(n)}\) denota el \ (n^\mbox{th}\) derivada de la función \ (f\). Ahora tenemos el siguiente hecho.
\N-[\Mathcal{L}\N-izquierda{{f^{left( n \\N-derecha)}} \right\} = {s^n}F\left( s \right) – {s^{n – 1}}f\left( 0 \right) – {s^{n – 2}}f’\left( 0 \right) – \cdots – s{f^{izquierda( {n – 2} \right)}\c izquierda( 0 \right) – {f^{izquierda( {n – 1} \right)}\c izquierda( 0 \right)\c]
\[\begin{align*}\mathcal{L}\left\{ {y’} \& = sIzquierda( sD) – yIzquierda( 0D)\N -mathcal{L} {Izquierda{y”} & = sIzquierda( sD) – yIzquierda( 0D)\N-. \& = {s^2}Izquierda( s \ derecha) – izquierda( 0 \ derecha) – izquierda( 0 \ derecha)\N-end{align*}]
Sistema de ecuaciones por transformada de Laplace
Ya se ha mencionado en la lección introductoria que, matemáticamente hablando, utilizamos el término transformaciones cuando nos referimos a trucos ingeniosos en matemáticas que permiten cambiar un problema de metodología de nivel superior a algo más sencillo, como el álgebra.
Este es exactamente el caso de nuestra lección de hoy, en la que utilizaremos la transformación de Laplace para descomponer una ecuación diferencial lineal de orden superior, separar sus términos, simplificarlos y luego trabajarlos para obtener una expresión para la solución implícita de la ecuación diferencial.
Para calcular dicho resultado, primero calcularemos las dos ecuaciones principales que se utilizarán a lo largo del proceso, estas ecuaciones que recomendamos aprender y tenerlas a mano, son las que se muestran en la ecuación 6. Después explicaremos los cálculos en una lista de pasos y terminaremos resolviendo algunos ejemplos sobre el tema.
Así pues, ya hemos tenido una introducción a la transformada de Laplace e incluso una lección sobre cómo calcular expresiones de Laplace por un sencillo método de comparación. Ahora es el momento de ver cómo nos ayudan estas transformaciones al resolver ecuaciones diferenciales.
Transformación de Ode laplace
Puede utilizar el operador de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales (de primer y segundo orden) con coeficientes constantes. Las ecuaciones diferenciales deben ser PIV con la condición inicial (s) especificada en x = 0.
El método es sencillo de describir. Dado un PIV, aplique el operador de transformación de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial. Esto transformará la ecuación diferencial en una ecuación algebraica cuya incógnita, F(p), es la transformada de Laplace de la solución deseada. Una vez que se resuelve esta ecuación algebraica para F( p), se toma la transformada inversa de Laplace de ambos lados; el resultado es la solución del PIV original.
Por lo general, cuando se enfrenta a un PIV, primero se encuentra la solución general de la ecuación diferencial y luego se utiliza la condición inicial (s) para evaluar la(s) constante(s) Por el contrario, el método de la transformada de Laplace utiliza las condiciones iniciales al principio de la solución, de modo que el resultado obtenido en el paso final al tomar la transformada inversa de Laplace tiene automáticamente las constantes evaluadas.
Transformación inversa de laplace
Resolver ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de LaplaceAbrir script en vivoResolver ecuaciones diferenciales utilizando las transformadas de Laplace en Symbolic Math Toolbox™ con este flujo de trabajo. Para ver ejemplos sencillos sobre la transformada de Laplace, consulte laplace e ilaplace.Definición: Transformada de LaplaceLa transformada de Laplace de una función f(t) es
F(s)=∫0∞f(t)e-tsdt.Concepto: Uso de flujos de trabajo simbólicosLos flujos de trabajo simbólicos mantienen los cálculos en la forma simbólica natural en lugar de la forma numérica. Este enfoque le ayuda a comprender las propiedades de su solución y a utilizar valores simbólicos exactos. Sustituya los números en lugar de las variables simbólicas sólo cuando necesite un resultado numérico o no pueda continuar de forma simbólica. Para más detalles, consulte Elegir aritmética numérica o simbólica. Típicamente, los pasos son:Flujo de trabajo: Resolver un circuito RLC utilizando la transformada de LaplaceDeclarar ecuacionesPuede utilizar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. Por ejemplo, puede resolver circuitos de resistencia-inductor-capacitor (RLC), como este circuito.Aplique las leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff para obtener las siguientes ecuaciones.