Ecuación diferencial de la ley de Torricelli
El radio de la luna es de aproximadamente 1.080 millas. La aceleración de la gravedad en la superficie de la luna es aproximadamente 0,165g, donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la tierra. Determina la velocidad de escape de la luna. (Pista: g = 32,16 pies/seg2 y 1 milla = 5280 pies)
Según la Ley de Gravitación de Newton, la aceleración de la partícula será inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la partícula al centro de la tierra. Sea r esa distancia variable, y sea R el radio de la tierra. Si t representa el tiempo, v es la velocidad de la partícula, a su aceleración, y k es la constante de proporcionalidad de la Ley de Newton, entonces
Si v se hace cero, la partícula se detendría, la velocidad cambiaría de positiva a negativa, y la partícula volvería a la tierra.Si r se hace muy grande, entonces el primer término será muy pequeño e incluso igual a cero.
Cómo calcular la velocidad de escape
En mecánica celeste, la velocidad de escape o la velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un objeto libre, no propulsado, escape de la influencia gravitatoria de un cuerpo primario, alcanzando así una distancia infinita del mismo. Se suele expresar como una velocidad ideal, sin tener en cuenta la fricción atmosférica. Aunque el término “velocidad de escape” es común, es más preciso describirla como una velocidad que como una rapidez porque es independiente de la dirección; la velocidad de escape aumenta con la masa del cuerpo primario y disminuye con la distancia al cuerpo primario. La velocidad de escape depende, por tanto, de la distancia que haya recorrido el objeto, y su cálculo a una distancia determinada tiene en cuenta que, sin una nueva aceleración, se ralentizará a medida que se desplace -debido a la gravedad del cuerpo masivo-, pero nunca se detendrá del todo.
Un cohete, continuamente acelerado por su escape, puede escapar sin alcanzar nunca la velocidad de escape, ya que sigue añadiendo energía cinética de sus motores. Puede alcanzar la velocidad de escape a cualquier velocidad, si dispone de suficiente propulsor para proporcionar nueva aceleración al cohete y contrarrestar la desaceleración de la gravedad y mantener así su velocidad.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en física pdf
La fórmula de la velocidad de escape, también conocida como segunda velocidad cósmica, se deriva directamente de la ley de conservación de la energía. En el momento del lanzamiento, el objeto tiene cierta energía potencial PE y cierta energía cinética KE. La energía en el momento del lanzamiento LE puede, por tanto, presentarse de la siguiente manera:
Cuando el objeto finalmente escapa, se encuentra tan lejos del planeta que su energía potencial es igual a cero. Además, su velocidad es prácticamente nula, por lo que su energía cinética también es igual a cero. Esto significa que la energía final total es igual a:
La primera velocidad cósmica es la velocidad que necesita un objeto para orbitar el cuerpo celeste. Por ejemplo, todos los satélites necesitan tener esta velocidad para no caer a la superficie de la Tierra. Es igual a la velocidad de escape dividida por la raíz cuadrada de 2. La fórmula completa es la siguiente:
A continuación puedes encontrar las velocidades de escape de todos los planetas del Sistema Solar (y de la Luna). ¿Quizás puedas utilizar la ecuación de la velocidad de escape “hacia atrás” para calcular sus masas y radios? Intenta encontrar también las primeras velocidades cósmicas de estos planetas.
Ecuación diferencial del tanque de drenaje
Un pequeño cuerpo cósmico comienza a caer a la Tierra desde el reposo bajo la acción de la fuerza gravitatoria. La distancia inicial al centro de la Tierra es igual a L. Determina la velocidad y el tiempo de la caída.
Un pequeño cuerpo cósmico comienza a caer a la Tierra desde el reposo bajo la acción de la fuerza gravitatoria. La distancia inicial al centro de la Tierra es igual a \ (L.\) Determine la velocidad y el tiempo de la caída.
El movimiento del cuerpo se produce en línea recta hacia el centro de la Tierra. Dado que el peso del cuerpo es mucho menor que la masa de la Tierra, la ecuación diferencial que describe su movimiento puede escribirse como
Determinamos ahora el tiempo de caída del cuerpo, suponiendo que la distancia inicial al centro de la Tierra es igual a \(L.\) Como \({\frac{{dr}}{dt}} = – v,\) obtenemos la siguiente ecuación diferencial que describe el movimiento del cuerpo a lo largo del eje radial:
\frac{{L\frac{1}{r}} – \frac{1}{L}} {{frac{1}{r}} + {L^{frac{3}{2}}arctan \left( {\sqrt L \sqrt {\frac{1}{r} – \frac{1}{L}} \right) = {R_texto{E}}\sqrt {2g} t + C,\;\; \Rightarrow r\sqrt L \sqrt {\frac{L}{r} – 1} + {L^{frac{3}{2}}arctan \\\Nde la suma de {\frac{L}{r} – 1} = {R_texto{E}}\Nde la suma de {2g} t + C.\}