Simulación de desintegración orbital mediante una diferencial ordinaria
El presente estudio tenía como objetivo analizar las posibles dificultades en los problemas planteados por los profesores en formación sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita y pares de ecuaciones con dos incógnitas. Se llevó a cabo con 20 profesores en formación que estudiaban en el Departamento de Educación Matemática Elemental de una universidad del este de Turquía. Como instrumento de recogida de datos se utilizó el Test de Planteamiento de Problemas (PPT), que incluye 5 ítems relativos a los tipos de ecuaciones. Además, se realizaron entrevistas semiestructuradas a cada uno de los profesores en formación. Se comprobó que los profesores en formación tenían dificultades en siete categorías de planteamiento de problemas. Estas dificultades se centraban en la traducción incorrecta de las notaciones matemáticas en los enunciados de los problemas, en la asignación de valores poco realistas a las incógnitas y en el planteamiento de problemas cambiando la estructura de las ecuaciones. Además, los profesores en formación tuvieron más dificultades para plantear problemas sobre pares de ecuaciones.
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El término matemático problema bien planteado proviene de una definición dada por el matemático francés del siglo XX Jacques Hadamard. Él creía que los modelos matemáticos de los fenómenos físicos deberían tener las propiedades que:
Algunos ejemplos de problemas bien planteados son el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace y la ecuación del calor con condiciones iniciales específicas. Estos pueden considerarse problemas “naturales”, ya que existen procesos físicos modelizados por estos problemas.
Los problemas que no están bien planteados en el sentido de Hadamard se denominan mal planteados. Los problemas inversos suelen estar mal planteados. Por ejemplo, la ecuación inversa del calor, que deduce una distribución previa de la temperatura a partir de los datos finales, no está bien planteada porque la solución es muy sensible a los cambios en los datos finales.
Los modelos continuos deben discretizarse a menudo para obtener una solución numérica. Aunque las soluciones pueden ser continuas con respecto a las condiciones iniciales, pueden sufrir inestabilidad numérica cuando se resuelven con precisión finita, o con errores en los datos. Incluso si un problema está bien planteado, puede estar mal condicionado, lo que significa que un pequeño error en los datos iniciales puede dar lugar a errores mucho mayores en las respuestas. Los problemas de los sistemas complejos no lineales (llamados sistemas caóticos) son ejemplos bien conocidos de inestabilidad. Un problema mal condicionado se indica con un gran número de condición.
RESOLVER PROBLEMAS CON FUNCIONES POLINÓMICAS
como en la mecánica de cuerpos múltiples y flexibles, el diseño de circuitos eléctricos, el control óptimo, los fluidos incompresibles, la dinámica molecular, la cinética química (aproximaciones de cuasi estado estacionario y de equilibrio parcial),
que expresa la condición de que la varilla tiene una longitud fija \( 1 \ .\) Tras reescribir las dos ecuaciones de segundo orden como cuatro EDO de primer orden, resulta un sistema DAE de la forma (2) con cuatro ecuaciones diferenciales y una algebraica:
Otros ejemplos de sistemas DAE de la vida real, incluyendo sistemas mecánicos de varios cuerpos, un circuito eléctrico y un problema de control de trayectoria prescrita pueden encontrarse en Brenan et al. (1996). Cabe señalar que la restricción en la mecánica, por ejemplo en el ejemplo del péndulo, es física, mientras que la restricción en otros problemas, como un problema de trayectoria prescrita, no es física sino que forma parte de las especificaciones de rendimiento.
para los que existe una literatura muy rica tanto en teoría matemática como en solución numérica. Mientras que la forma estándar de la EDO puede escribirse como una DAE, la forma más general de la DAE admite problemas que pueden ser muy diferentes de la forma estándar de la EDO. La clase de DAE incluye problemas que muestran propiedades matemáticas fundamentales que son diferentes de las de las EDO, y también plantean retos adicionales para su solución numérica. Por otra parte, las DAE implícitas
Grado 8 Matemáticas #8.1e, Sistemas de Ecuaciones
DSolve devuelve los resultados como listas de reglas. Esto hace posible devolver múltiples soluciones a una ecuación. Para un sistema de ecuaciones, posiblemente los conjuntos de soluciones múltiples se agrupan. Puede utilizar las reglas para sustituir las soluciones en otros cálculos.
Una solución general contiene parámetros arbitrarios C[i] que pueden variarse para producir soluciones particulares para la ecuación. Cuando se especifica un número adecuado de condiciones iniciales, DSolve devuelve soluciones particulares a las ecuaciones dadas.
Cuando el segundo argumento de DSolve se especifica como y en lugar de y[x], la solución se devuelve como una función pura. Esta forma es útil para verificar la solución de la EDO y para utilizar la solución en trabajos posteriores. En “Configuración del problema” se ofrecen más detalles.
Mientras que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias implican constantes arbitrarias, las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales parciales implican funciones arbitrarias. DSolve etiqueta estas funciones arbitrarias como C[i].
El diseño de DSolve es modular: los algoritmos para las diferentes clases de problemas funcionan independientemente unos de otros. Una vez que se ha clasificado un problema (como se describe en “Clasificación de las ecuaciones diferenciales”), los métodos disponibles para esa clase se prueban en una secuencia específica hasta que se obtiene una solución. El código tiene una estructura jerárquica por la que la solución de problemas complejos se reduce a la solución de problemas relativamente más sencillos, para los que se dispone de una mayor variedad de métodos. Por ejemplo, las EDO de orden superior suelen resolverse reduciendo su orden a 1 ó 2.