Ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas
¿Qué es una ecuación cuadrática? Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado, lo que significa que contiene al menos un término al cuadrado. La forma estándar es ax² + bx + c = 0 con a, b y c como constantes, o coeficientes numéricos, y x como variable desconocida. Sigue leyendo para ver ejemplos de ecuaciones cuadráticas en formas estándar y no estándar, así como una lista de términos de ecuaciones cuadráticas.
Ejemplos de ecuaciones en forma estándarLa manera más fácil de aprender ecuaciones cuadráticas es comenzar en la forma estándar. Aunque no todas las ecuaciones cuadráticas que veas estarán en esta forma, sigue siendo útil ver ejemplos. Ten en cuenta que la primera constante a no puede ser un cero.
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas incompletasA medida que desarrolles tus habilidades de álgebra, encontrarás que no todas las ecuaciones cuadráticas están en la forma estándar. Mira ejemplos de diferentes casos de ecuaciones cuadráticas no estándar. Falta el coeficiente linealA veces una ecuación cuadrática no tiene el coeficiente lineal o la parte bx de la ecuación. Los ejemplos incluyen:
Para una ecuación cuadrática incompleta, ¿cuál es el mejor método a utilizar?
Las soluciones de esta ecuación se llaman raíces de la función cúbica definida por el lado izquierdo de la ecuación. Si todos los coeficientes a, b, c y d de la ecuación cúbica son números reales, entonces tiene al menos una raíz real (esto es cierto para todas las funciones polinómicas de grado impar). Todas las raíces de la ecuación cúbica se pueden encontrar por los siguientes medios:
No es necesario que los coeficientes sean números reales. Gran parte de lo que se trata a continuación es válido para los coeficientes de cualquier campo con característica distinta de 2 y 3. Las soluciones de la ecuación cúbica no pertenecen necesariamente al mismo campo que los coeficientes. Por ejemplo, algunas ecuaciones cúbicas con coeficientes racionales tienen raíces que son números complejos irracionales (e incluso no reales).
En el siglo VII, el matemático astrónomo de la dinastía Tang, Wang Xiaotong, en su tratado matemático titulado Jigu Suanjing, estableció sistemáticamente y resolvió numéricamente 25 ecuaciones cúbicas de la forma x3 + px2 + qx = N, 23 de ellas con p, q ≠ 0, y dos de ellas con q = 0.[11]
Función cuadrática incompleta
Muchas ecuaciones cuadráticas no se pueden resolver mediante la factorización. Esto suele ocurrir cuando las raíces, o las respuestas, no son números racionales. Un segundo método para resolver ecuaciones cuadráticas implica el uso de la siguiente fórmula:
Al utilizar la fórmula cuadrática, debes tener en cuenta tres posibilidades. Estas tres posibilidades se distinguen por una parte de la fórmula llamada discriminante. El discriminante es el valor bajo el signo radical, b 2 – 4 ac. Una ecuación cuadrática con números reales como coeficientes puede tener lo siguiente:
No tiene solución en el sistema de números reales. Te puede interesar saber que el proceso de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas se utilizó en la ecuación ax 2 + bx + c = 0 para derivar la fórmula cuadrática.
Calculadora de ecuaciones cuadráticas incompletas
Existe, de hecho, una fórmula general para resolver ecuaciones cuádricas (polinomios de 4º grado). Al igual que la fórmula cúbica es significativamente más compleja que la fórmula cuadrática, la fórmula cuártica es significativamente más compleja que la fórmula cúbica. El artículo de Wikipedia sobre las funciones cuárticas tiene un largo proceso para obtener las soluciones, pero no da una fórmula explícita.
Hay que tener en cuenta que en las fórmulas cúbica y cuártica, dependiendo de cómo se exprese la fórmula, la corrección de las respuestas depende probablemente de una elección particular de la definición de las raíces principales para los números complejos no reales y hay dos formas diferentes de definir dicha raíz principal.
No puede haber fórmulas algebraicas explícitas para las soluciones generales de los polinomios de grado superior, pero para demostrarlo se necesitan matemáticas que van más allá del precálculo (ahora se suele demostrar con la Teoría de Galois, aunque originalmente se demostró con otros métodos). Este hecho se conoce como el teorema de Abel-Ruffini.
También hay que destacar que Wolfram vende un póster que analiza la resolubilidad de las ecuaciones polinómicas, centrándose especialmente en las técnicas para resolver una ecuación quíntica (polinómica de 5º grado). Este póster ofrece fórmulas explícitas para las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, cúbicas y quínticas.