Ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes ejemplos pdf
Este artículo trata de las ecuaciones diferenciales lineales con una variable independiente. Para ecuaciones similares con dos o más variables independientes, véase Ecuación diferencial parcial § Ecuaciones lineales de segundo orden.
Una ecuación de este tipo es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Una ecuación diferencial lineal también puede ser una ecuación diferencial parcial lineal (EDP), si la función desconocida depende de varias variables, y las derivadas que aparecen en la ecuación son derivadas parciales.
Una ecuación diferencial lineal o un sistema de ecuaciones lineales tal que las ecuaciones homogéneas asociadas tienen coeficientes constantes puede resolverse por cuadratura, lo que significa que las soluciones pueden expresarse en términos de integrales. Esto también es cierto para una ecuación lineal de orden uno, con coeficientes no constantes. Una ecuación de orden dos o superior con coeficientes no constantes no puede, en general, resolverse por cuadratura. Para el orden dos, el algoritmo de Kovacic permite decidir si hay soluciones en términos de integrales, y calcularlas si las hay.
Ejemplos de ecuaciones lineales con coeficientes constantes
Las ecuaciones diferenciales lineales de coeficiente constante constituyen una clase importante de ecuaciones diferenciales que aparecen tanto en modelos físicos como en aproximaciones a ecuaciones más complicadas. Por ejemplo, la segunda parte de este tutorial utiliza los métodos de resolución de ecuaciones de coeficiente constante para extenderlos a sistemas de ecuaciones diferenciales. Empezamos con ecuaciones de segundo orden porque todos los pasos se vuelven transparentes y pueden realizarse utilizando solucionadores.
\( y’ = \texttt{D} \ y = {\text d}y/{text d}x \) y \( y” = \texttt{D}^2 y = {\text d}^2 y/{text d}x^2 . \) De la sección sobre ecuaciones diferenciales ordinarias lineales sabemos que la solución general de la Ec.\qref{EqConstant.1} será de la forma
donde { y1, y2 } es un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial dada \eqref{EqConstant.1}. No es difícil comprobar que la ecuación diferencial lineal de segundo orden y coeficiente constante \eqref{EqConstant.1} tiene al menos una solución de la forma \( y = e^{lambda x} . \) Sustituyendo la función exponencial en la ecuación diferencial se obtiene
Ecuaciones diferenciales lineales de coeficiente constante
El enfoque para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de coeficiente constante consiste en encontrar la forma general de todas las posibles soluciones de la ecuación y, a continuación, aplicar una serie de condiciones para encontrar la solución adecuada. Los dos tipos principales de problemas son los problemas de valor inicial, que implican restricciones sobre la solución y sus derivadas en un único punto, y los problemas de valor límite, que implican restricciones sobre la solución o sus derivadas en varios puntos.
El número de condiciones iniciales necesarias para una ecuación diferencial de orden \ (N\), que es el orden de la derivada de mayor orden, es \ (N\), y siempre se garantiza una solución única si se suministran. Los problemas de valor límite pueden ser un poco más complicados y no necesariamente tendrán una solución única o incluso una solución en absoluto para un conjunto dado de condiciones. Por lo tanto, este módulo se centrará exclusivamente en los problemas de valor inicial.
Sean \(x_h(t)\Ny \N(x_p(t)\Ndos funciones tales que \(Ax_h(t)=0\Ny \N(Ax_p(t)=f(t)\N.) Por la linealidad de \(A\), nótese que \(A(x_h(t)+x_p(t))=0+f(t)=f(t)\). Así, la forma de la solución general \(x_g(t)\) de cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficiente constante es la suma de una solución homogénea \(x_h(t)\) de la ecuación \(Ax=0\) y una solución particular \(x_p(t)\) que es específica de la función forzante \(f(t)\).
Ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en la forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.