Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales
Las soluciones simbólicas devuelven ecuaciones que contienen sus variables independientes. Estas soluciones son exactas y pueden ser fácilmente manipuladas para encontrar, por ejemplo, un valor en un punto, una derivada de la solución, o una integral de la solución. Tenga en cuenta que no todas las EDOs o sistemas de EDOs tienen una solución simbólica. Sin embargo, si está tomando un curso de introducción a las EDOs, es muy probable que esté interesado en encontrar soluciones simbólicas.
Las soluciones numéricas devuelven un procedimiento que integra tus ODEs. Como se integran numéricamente, las soluciones numéricas son aproximaciones. La mayoría de las EDOs pueden ser resueltas numéricamente incluso si no tienen una solución simbólica. Si necesitas encontrar derivadas o integrales de tu solución, debes incluir ecuaciones para las derivadas e integrales en tu sistema de EDOs.
Este tema contiene secciones separadas sobre cómo encontrar soluciones simbólicas y numéricas ya que las técnicas para resolver esos problemas difieren ligeramente. Los ejemplos de cada sección están ordenados de lo más sencillo a lo más complejo.
Wolframio
Otra forma de resolver los problemas de valor límite de las EDO es el método de las diferencias finitas, en el que podemos utilizar fórmulas de diferencias finitas en puntos de malla uniformemente espaciados para aproximar las ecuaciones diferenciales. De esta manera, podemos transformar una ecuación diferencial en un sistema de ecuaciones algebraicas para resolver.
En el método de las diferencias finitas, las derivadas de la ecuación diferencial se aproximan utilizando las fórmulas de diferencias finitas. Podemos dividir el intervalo de \([a, b]\) en \(n\) subintervalos iguales de longitud \(h\) como se muestra en la siguiente figura.
Comúnmente, solemos utilizar las fórmulas de diferencias centrales en los métodos de diferencias finitas debido a que dan una mayor precisión. La ecuación diferencial se cumple sólo en los puntos de la malla, y las derivadas primera y segunda sí:
Estas expresiones de diferencias finitas se utilizan para reemplazar las derivadas de \(y\) en la ecuación diferencial que conduce a un sistema de \(n+1\) ecuaciones algebraicas lineales si la ecuación diferencial es lineal. Si la ecuación diferencial es no lineal, las ecuaciones algebraicas también serán no lineales.
Calculadora del método de Euler
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Como veremos en este capítulo, no existe una fórmula general para la solución de \(\eqref{eq:eq1}\). Lo que haremos en su lugar es ver varios casos especiales y ver cómo resolverlos. También vamos a ver algo de la teoría detrás de las ecuaciones diferenciales de primer orden, así como algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. A continuación se muestra una lista de los temas tratados en este capítulo.
Ecuaciones lineales – En esta sección resolvemos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, es decir, ecuaciones diferenciales de la forma \(y’ + p(t) y = g(t)\Nde). Damos una visión general en profundidad del proceso utilizado para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales, así como una derivación de la fórmula necesaria para el factor integrador utilizado en el proceso de solución.
Solucionador de ecuaciones diferenciales con pasos
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
He intentado que estos apuntes sean lo más autocontenidos posible, por lo que toda la información necesaria para leerlos es de una clase de Cálculo o Álgebra o está contenida en otras secciones de los apuntes.
Conceptos básicos – En este capítulo introducimos muchos de los conceptos y definiciones básicas que se encuentran en un curso típico de ecuaciones diferenciales. También echaremos un vistazo a los campos de dirección y cómo pueden utilizarse para determinar algunos de los comportamientos de las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
Definiciones – En esta sección se introducen algunas de las definiciones y conceptos comunes en un curso de ecuaciones diferenciales, incluyendo orden, lineal vs. no lineal, condiciones iniciales, problema de valor inicial e intervalo de validez.