Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden a los sistemas del mundo real
Visualización de la transferencia de calor en la carcasa de una bomba, creada mediante la resolución de la ecuación del calor. El calor se genera internamente en la carcasa y se enfría en la frontera, proporcionando una distribución de temperatura en estado estacionario.
En matemáticas, una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o más funciones desconocidas y sus derivadas[1] En las aplicaciones, las funciones generalmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación diferencial define una relación entre ambas. Estas relaciones son comunes; por lo tanto, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en muchas disciplinas, como la ingeniería, la física, la economía y la biología.
El estudio de las ecuaciones diferenciales consiste principalmente en el estudio de sus soluciones (el conjunto de funciones que satisfacen cada ecuación), y de las propiedades de sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas pueden resolverse mediante fórmulas explícitas; sin embargo, muchas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin calcularlas exactamente.
Aplicación de la ecuación diferencial de primer orden en el crecimiento de la población
Trayectorias ortogonales. El término ortogonal significa perpendicular, y trayectoria significa camino o crucero. Las trayectorias ortogonales, por tanto, son dos familias de curvas que siempre se cruzan perpendicularmente. Un par de curvas que se cruzan serán perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1, es decir, si la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. Como la pendiente de una curva viene dada por la derivada, dos familias de curvas ƒ 1( x, y, c) = 0 y ƒ 2( x, y, c) = 0 (donde c es un parámetro) serán ortogonales allí donde se crucen si
Ejemplo 1: El campo electrostático creado por una carga puntual positiva se representa como un conjunto de líneas rectas que se alejan de la carga (figura ). Utilizando el hecho de que los equipotenciales (superficies de potencial eléctrico constante) son ortogonales a las líneas de campo eléctrico, determine la geometría de los equipotenientes de una carga puntual.
Las líneas equipotenciales (es decir, la intersección de las superficies equipotenciales con cualquier plano que contenga la carga) son, por tanto, la familia de circunferencias x 2 + y 2 = c 2 centradas en el origen. En la figura 2 se muestran las líneas equipotenciales y de campo eléctrico de una carga puntual.
Aplicación de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden que implica la dinámica
Las ecuaciones son de primer grado cuando pueden escribirse en la forma ax + b = c, donde x es una variable y a, b y c son constantes conocidas y a a!=0. Discutimos las técnicas para resolver ecuaciones de primer grado en la sección 3.4 y de nuevo en la sección 3.5 al tratar con fórmulas. Además, encontrar las soluciones a las proporciones discutidas en las secciones 6.6 y 6.7 implica resolver ecuaciones de primer grado.
Este tema es uno de los más básicos e importantes para cualquier estudiante principiante de álgebra y se presenta de nuevo aquí para reforzarlo positivamente y como preparación para resolver una variedad de aplicaciones en las secciones 7.3, 7.4 y 7.5.
Hay exactamente una solución para una ecuación de primer grado en una variable. Esta afirmación puede demostrarse por el método de la contradicción. La prueba no se da aquí. Las ecuaciones que tienen más de una solución se discutirán en los capítulos 8, 9 y 10.
Esta última técnica tiene la ventaja de dejar sólo los coeficientes enteros y las constantes. Si hay más de una fracción, entonces cada término debe ser multiplicado por el LCM de los denominadores de las fracciones.
Aplicación geométrica de la ecuación diferencial de primer orden
Anteriormente, estudiamos una aplicación de una ecuación diferencial de primer orden que implicaba resolver la velocidad de un objeto. En particular, si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de \( v_0\) pies/s, entonces un problema de valor inicial que describe la velocidad de la pelota después de \( t\) segundos está dado por
La resistencia del aire siempre actúa en la dirección opuesta al movimiento. Por lo tanto, si un objeto está subiendo, la resistencia del aire actúa en dirección descendente. Si el objeto está cayendo, la resistencia del aire actúa en dirección ascendente (Figura \( \PageIndex{1}\)). No existe una relación exacta entre la velocidad de un objeto y la resistencia del aire que actúa sobre él. Para objetos muy pequeños, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad; es decir, la fuerza debida a la resistencia del aire es numéricamente igual a alguna constante \( k\) por \( v\). Para objetos más grandes (por ejemplo, del tamaño de una pelota de béisbol), dependiendo de la forma, la resistencia del aire puede ser aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. De hecho, la resistencia del aire puede ser proporcional a \( v^{1,5}\), o \( v^{0,9}\), o alguna otra potencia de \( v\).