Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
Una aplicación de los sistemas de ecuaciones son los problemas de mezcla. Los problemas de mezclas son aquellos en los que se mezclan dos soluciones diferentes dando lugar a una nueva solución final. Una solución es una mezcla de dos o más sustancias diferentes, como agua y sal o vinagre y aceite. La mayoría de las reacciones bioquímicas se producen en soluciones líquidas, por lo que es importante que los médicos, las enfermeras y los investigadores las comprendan. Hay muchas otras disciplinas que también utilizan soluciones.
La concentración o fuerza de una solución líquida suele describirse como un porcentaje. Este número proviene de la relación de la cantidad de masa que hay en un volumen específico de líquido. Por ejemplo, si tienes 50 gramos de sal en 100 ml de agua, tienes una solución salina al 50%, según la siguiente proporción:
Las soluciones que se utilizan para la mayoría de los fines suelen venir en concentraciones preestablecidas por los fabricantes, por lo que si necesitas una concentración personalizada, tendrías que mezclar dos concentraciones diferentes. En esta sección, practicaremos la escritura de ecuaciones que representen el resultado de mezclar dos concentraciones diferentes de soluciones.
Sistema de ecuaciones diferenciales lineales
En la sección 6, construimos funciones exponenciales para el g-cálculo, en el sentido de que resolvemos explícitamente la ecuación g-diferencial xg′(t)=c(t)x(t). Estas funciones exponenciales nos permiten dar las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de g. La sección 7 contiene los principales resultados de este trabajo, a saber, los teoremas de Picard y Peano para (1.1) en el sentido de Carathéodory. También presentamos condiciones que aseguran que la solución de la ecuación g-diferencial no lineal es g-diferible en todas partes en su dominio, obteniendo así soluciones en sentido clásico.
Proposición 2.1Una base contable de τg viene dada por la familia de intervalos de la forma (a,b) con a,b∈Q, a<b, junto con los intervalos (a,b], con a∈Q, b∈Dg como se define en (2.2) y a<b.Como consecuencia, la g-topología es segunda contable.Prueba.Todo conjunto abierto en la g-topología es la unión de bolas abiertas como se define en (2.4). Cada bola abierta no es otra cosa queg-1((α,β))={t∈ℝ:α<g(t)<β} para algún α,β∈ℝ, α<β.Dado que g es no decreciente, g-1((α,β)) es un intervalo con puntos extremos
Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales
Hasta ahora hemos hablado de ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función que buscábamos era una función escalar (\(y(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). Donde la función desconocida es un vector (\(\vec{y}(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n\)), estamos tratando con sistemas de EDOs.
El sistema es ordinario, ya que todavía tenemos una variable independiente \ (x), pero ahora en contraste con las EDOs individuales, tenemos \ (n\) funciones de variables independientes \ (y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)\) para resolver. Esta es la forma implícita, pero los sistemas de EDO también pueden escribirse de forma explícita. Muchos problemas de física y biología dan lugar a sistemas de EDOs. He aquí algunos ejemplos:
Estos modelos pueden utilizarse para predecir la dinámica de sistemas de depredadores y presas como los conejos (\(x(t)\)) y los zorros (\(y(t)\)). Un modelo clásico es el de Lotka-Volterra (1925/26), que puede mostrar una solución periódica de la población de depredadores y presas a medida que uno sube y el otro baja.
Las ecuaciones de velocidad química para un conjunto de reacciones químicas. Por ejemplo, considere la reacción binaria reversible \(A + B \\ rightleftharpoons C\) con tasa hacia adelante de \(k_1\) y tasa hacia atrás de \(k_2\). Tenemos las siguientes ecuaciones de velocidad para las concentraciones \([A]\), \([B]\) y \([C]\).
Sistema de ecuaciones diferenciales
Visualización de la transferencia de calor en la carcasa de una bomba, creada mediante la resolución de la ecuación del calor. El calor se genera internamente en la carcasa y se enfría en la frontera, proporcionando una distribución de temperatura en estado estacionario.
En matemáticas, una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o más funciones desconocidas y sus derivadas[1] En las aplicaciones, las funciones generalmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación diferencial define una relación entre ambas. Estas relaciones son comunes; por lo tanto, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en muchas disciplinas, como la ingeniería, la física, la economía y la biología.
El estudio de las ecuaciones diferenciales consiste principalmente en el estudio de sus soluciones (el conjunto de funciones que satisfacen cada ecuación), y de las propiedades de sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas pueden resolverse mediante fórmulas explícitas; sin embargo, muchas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin calcularlas exactamente.