Solucionador de ecuaciones diferenciales
∂u∂t=∂2u∂x2.Esta ecuación describe la disipación de calor para 0≤x≤L y t≥0. El objetivo es resolver la temperatura u(x,t). La temperatura es inicialmente una constante no nula, por lo que la condición inicial es
u(L,t)=1.Para resolver esta ecuación en MATLAB, hay que codificar la ecuación, las condiciones iniciales y las condiciones de contorno, y luego seleccionar una malla de solución adecuada antes de llamar al solucionador pdepe. Puedes incluir las funciones necesarias como funciones locales al final de un archivo (como en este ejemplo), o guardarlas como archivos separados y con nombre en un directorio de la ruta de MATLAB.Codificar la ecuaciónAntes de codificar la ecuación, tienes que asegurarte de que está en la forma que espera el solucionador pdepe:
1⋅∂u∂t=x0∂∂x(x0∂u∂x)+0.Así que los valores de los coeficientes son los siguientes:El valor de m se pasa como argumento a pdepe, mientras que los demás coeficientes se codifican en una función para la ecuación, que esfunción [c,f,s] = heatpde(x,t,u,dudx)
(Nota: Todas las funciones se incluyen como funciones locales al final del ejemplo.)Código Condición inicialLa función de condición inicial para la ecuación del calor asigna un valor constante para u0. Esta función debe aceptar una entrada para x, aunque no se utilice.Función u0 = heatic(x)
Calculadora de sistemas de ecuaciones diferenciales
Ya se ha mencionado en la lección introductoria que, matemáticamente hablando, utilizamos el término transformaciones cuando nos referimos a trucos ingeniosos en matemáticas que permiten cambiar un problema de metodología de nivel superior a algo más sencillo, como el álgebra.
Este es exactamente el caso de nuestra lección de hoy, en la que utilizaremos la transformación de Laplace para descomponer una ecuación diferencial lineal de orden superior, separar sus términos, simplificarlos y luego trabajarlos para obtener una expresión para la solución implícita de la ecuación diferencial.
Para calcular dicho resultado, primero calcularemos las dos ecuaciones principales que se utilizarán a lo largo del proceso, estas ecuaciones que recomendamos aprender y tenerlas a mano, son las que se muestran en la ecuación 6. Después explicaremos los cálculos en una lista de pasos y terminaremos resolviendo algunos ejemplos sobre el tema.
Así pues, ya hemos tenido una introducción a la transformada de Laplace e incluso una lección sobre cómo calcular expresiones de Laplace por un sencillo método de comparación. Ahora es el momento de ver cómo nos ayudan estas transformaciones al resolver ecuaciones diferenciales.
Transformación inversa de laplace
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Antes de pasar a las ecuaciones diferenciales necesitaremos una fórmula más. Necesitaremos saber cómo tomar la transformada de Laplace de una derivada. En primer lugar recordar que \ (f^(n)}\) denota el \ (n^\mbox{th}\) derivada de la función \ (f\). Ahora tenemos el siguiente hecho.
\N-[\Mathcal{L}\N-izquierda{{f^{left( n \\N-derecha)}} \right\} = {s^n}F\left( s \right) – {s^{n – 1}}f\left( 0 \right) – {s^{n – 2}}f’\left( 0 \right) – \cdots – s{f^{izquierda( {n – 2} \right)}\c izquierda( 0 \right) – {f^{izquierda( {n – 1} \right)}\c izquierda( 0 \right)\c]
\[\begin{align*}\mathcal{L}\left\{ {y’} \& = sIzquierda( sD) – yIzquierda( 0D)\N -mathcal{L} {Izquierda{y”} & = sIzquierda( sD) – yIzquierda( 0D)\N-. \& = {s^2}Izquierda( s \ derecha) – izquierda( 0 \ derecha) – izquierda( 0 \ derecha)\N-end{align*}]
Calculadora de la transformada de Laplace de dos caras
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