Ecuación diferencial homogénea y no homogénea
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Al igual que con las ecuaciones diferenciales de segundo orden, no podemos resolver una ecuación diferencial no homogénea a menos que podamos resolver primero la ecuación diferencial homogénea. También tendremos que limitarnos a las ecuaciones diferenciales de coeficiente constante, ya que la resolución de ecuaciones diferenciales de coeficiente no constante es bastante difícil, por lo que no las trataremos aquí. Asimismo, sólo estudiaremos las ecuaciones diferenciales lineales.
Ahora, supongamos que las soluciones a esta ecuación diferencial será en la forma \ ~(y\left( t \right) = {\bf{e}^{r\,t}}) y enchufe esto en la ecuación diferencial y con un poco de simplificación que obtenemos,
Ecuación diferencial lineal homogénea
La función homogénea es una función con comportamiento de escala multiplicativa. La función f(x, y), si puede expresarse escribiendo x = kx, e y = ky para formar una nueva función f(kx, ky) = knf(x, y) tal que la constante k puede tomarse como la enésima potencia del exponente, se llama función homogénea.
La función homogénea es una función con comportamiento de escala multiplicativa. Aquí, si cada variable de la ecuación se multiplica por una constante, entonces toda la función se multiplica también por un exponente del valor de la constante. Consideremos una función f(x, y), y si cada variable se multiplica con una constante K, entonces toda la expresión de la función se multiplica también con la enésima potencia de la constante k.
En las dos funciones anteriores no podemos tomar fácilmente la constante común, y por lo tanto las dos funciones anteriores no pueden ser consideradas como funciones homogéneas. Las funciones que contienen expresiones especiales que implican logaritmos o razones trigonométricas no son funciones homogéneas.
La ecuación diferencial que se forma con una función homogénea es una ecuación diferencial homogénea. La ecuación diferencial de la forma dy/dx = f(x, y) es una ecuación diferencial homogénea si la función f(x, y) es una función homogénea. Además, vamos a comprobar una definición alternativa de función homogénea antes de avanzar en la resolución de una ecuación diferencial homogénea.
Comprobar la calculadora de ecuaciones diferenciales homogéneas
Por otra parte, una ecuación diferencial es homogénea si es una función homogénea de la función desconocida y sus derivadas. En el caso de las ecuaciones diferenciales lineales, esto significa que no hay términos constantes. Las soluciones de cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal de cualquier orden pueden deducirse por integración a partir de la solución de la ecuación homogénea obtenida al eliminar el término constante.
El término homogéneo fue aplicado por primera vez a las ecuaciones diferenciales por Johann Bernoulli en la sección 9 de su artículo de 1726 De integraionibus aequationum differentialium (Sobre la integración de ecuaciones diferenciales)[2].
Una ecuación diferencial lineal es homogénea si es una ecuación lineal homogénea en la función desconocida y sus derivadas. Se deduce que, si φ(x) es una solución, también lo es cφ(x), para cualquier constante (no nula) c. Para que esta condición se cumpla, cada término no nulo de la ecuación diferencial lineal debe depender de la función desconocida o de cualquier derivada de ella. Una ecuación diferencial lineal que no cumple esta condición se llama inhomogénea.
Ecuación diferencial homogénea de segundo orden
Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación que contiene una diferenciación y una función, con un conjunto de variables. La función f(x, y) en una ecuación diferencial homogénea es una función homogénea tal que f(λx, λy) = λnf(x, y), para cualquier constante no nula λ. La forma general de una ecuación diferencial homogénea es f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0.
Una ecuación diferencial que contiene una función homogénea se llama ecuación diferencial homogénea. La función f(x, y) se llama función homogénea si f(λx, λy) = λnf(x, y), para cualquier constante no nula λ. La forma general de la ecuación diferencial homogénea es de la forma f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0. La ecuación diferencial homogénea tiene el mismo grado para las variables x, y dentro de la ecuación.
La ecuación diferencial homogénea no tiene un término constante dentro de la ecuación. La ecuación diferencial lineal tiene un término constante. La solución de una ecuación diferencial lineal es posible si somos capaces de eliminar el término constante de la ecuación diferencial lineal y transformarla en una ecuación diferencial homogénea. Además, la ecuación diferencial homogénea no tiene las variables x, y dentro de ninguna función especial como las funciones logarítmicas, o trigonométricas.