Ecuación diferencial no homogénea con coeficientes constantes
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donde \(g(t)\Nes una función no nula. Tenga en cuenta que no fuimos con coeficientes constantes aquí porque todo lo que vamos a hacer en esta sección no lo requiere. Además, estamos usando un coeficiente de 1 en la segunda derivada sólo para hacer algo del trabajo un poco más fácil de escribir. No es necesario que sea un 1.
Supongamos que \ (Y_{1}(t)\) y \ (Y_{2}(t)\) son dos soluciones de \(\eqref{eq:eq1}) y que \ (y_{1}(t)\) y \ (y_{2}(t)\) son un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada \(\eqref{eq:eq2}) entonces,
Nótese la notación utilizada aquí. Las mayúsculas se refieren a las soluciones de \(\eqref{eq:eq1}\) mientras que las minúsculas se refieren a las soluciones de \(\eqref{eq:eq2}\). Esta es una convención bastante común cuando se trata de ecuaciones diferenciales no homogéneas.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales no homogéneas con soluciones
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es la que tiene la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en la forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.
Ecuación diferencial no homogénea – wikipedia
En esta sección, examinamos cómo resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. La terminología y los métodos son diferentes de los que utilizamos para las ecuaciones homogéneas, así que vamos a empezar por definir algunos términos nuevos.
Para demostrar que \(y(x)\Nes la solución general, primero debemos mostrar que resuelve la ecuación diferencial y, segundo, que cualquier solución de la ecuación diferencial puede escribirse en esa forma. Sustituyendo \(y(x)\Nen la ecuación diferencial, tenemos
por lo que \(z(x)-y_p(x)\Nes una solución de la ecuación complementaria. Pero, \(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\ es la solución general de la ecuación complementaria, por lo que existen las constantes \(c_1\) y \(c_2\) tales que
En el apartado anterior hemos aprendido a resolver ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Por lo tanto, para las ecuaciones no homogéneas de la forma \(ay″+by′+cy=r(x)\), ya sabemos cómo resolver la ecuación complementaria, y el problema se reduce a encontrar una solución particular para la ecuación no homogénea. A continuación examinamos dos técnicas para ello: el método de los coeficientes indeterminados y el método de la variación de los parámetros.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales no homogéneas pdf
En esta sección, examinamos cómo resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. La terminología y los métodos son diferentes de los que utilizamos para las ecuaciones homogéneas, así que vamos a empezar por definir algunos términos nuevos.
Para demostrar que y(x)y(x) es la solución general, primero debemos mostrar que resuelve la ecuación diferencial y, segundo, que cualquier solución de la ecuación diferencial puede escribirse en esa forma. Sustituyendo y(x)y(x) en la ecuación diferencial, tenemos
por lo que z(x)-yp(x)z(x)-yp(x) es una solución de la ecuación complementaria. Pero, c1y1(x)+c2y2(x)c1y1(x)+c2y2(x) es la solución general de la ecuación complementaria, por lo que hay constantes c1c1 y c2c2 tales que
En el apartado anterior hemos aprendido a resolver ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Por lo tanto, para las ecuaciones no homogéneas de la forma ay″+by′+cy=r(x),ay″+by′+cy=r(x), ya sabemos cómo resolver la ecuación complementaria, y el problema se reduce a encontrar una solución particular para la ecuación no homogénea. A continuación examinamos dos técnicas para ello: el método de los coeficientes indeterminados y el método de la variación de los parámetros.