Ecuación diferencial de Bernoulli
Ecuación de BernoulliLa ecuación de Bernoulli expresa la conservación de la energía para los fluidos que fluyen (específicamente los fluidos incompresibles), como el agua. Muestra la equivalencia de la energía global para un volumen determinado de un fluido a medida que se mueve. La ecuación de Bernoulli es una aproximación y a veces puede incluir un término para describir la pérdida de energía del sistema[1] La ecuación utilizada relaciona la energía del fluido en términos de su elevación, presión y velocidad y se basa en los principios esbozados por la ley de conservación de la energía[1] Esta ecuación puede expresarse como:[2]
donde el lado izquierdo es un fluido en la primera posición y el lado derecho es el mismo fluido que se ha desplazado a la segunda posición. Cada término representa la energía por unidad de volumen del fluido. El primer término representa la energía de presión, el segundo la energía cinética y el tercero la energía potencial gravitatoria. Las variables se definen como:
Figura 1. Diagrama de una tubería que ilustra los diferentes aspectos de la ecuación de Bernoulli. Aquí, la presión, la elevación y la velocidad del fluido dentro de la tubería cambian entre la posición 1 y la posición 2. Sin embargo, cuando los valores de elevación, presión y velocidad en ambas posiciones se introducen en la ecuación anterior, dan como resultado una igualdad, ya que la energía global debe conservarse[3].
Bernoulli-effekt
Como mostramos en la figura 14.7.4, cuando un fluido fluye en un canal más estrecho, su velocidad aumenta. Esto significa que su energía cinética también aumenta. El aumento de la energía cinética proviene del trabajo neto realizado sobre el fluido para empujarlo dentro del canal. Además, si el fluido cambia de posición vertical, la fuerza gravitatoria realiza un trabajo sobre el fluido.
Cuando el canal se estrecha se produce una diferencia de presión. Esta diferencia de presión resulta en una fuerza neta sobre el fluido porque la presión por el área es igual a la fuerza, y esta fuerza neta realiza trabajo. Recordemos el teorema trabajo-energía,
Hay muchos ejemplos comunes de caída de presión en fluidos que se mueven rápidamente. Por ejemplo, las cortinas de las duchas tienen la desagradable costumbre de abombarse dentro de la cabina cuando la ducha está abierta. La razón es que la corriente de agua y aire a gran velocidad crea una región de menor presión dentro de la ducha, mientras que la presión en el otro lado permanece a la presión atmosférica estándar. Esta diferencia de presión da lugar a una fuerza neta que empuja la cortina hacia dentro. Del mismo modo, cuando un coche se cruza con un camión en la carretera, los dos vehículos parecen tirar el uno hacia el otro. La razón es la misma: la alta velocidad del aire entre el coche y el camión crea una región de menor presión entre los vehículos, y son empujados juntos por una mayor presión en el exterior (Figura \(\PageIndex{1}\)). Este efecto se observó ya a mediados del siglo XIX, cuando se comprobó que los trenes que pasaban en direcciones opuestas se inclinaban precariamente el uno hacia el otro.
Derivación de la ecuación de Bernoulli
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En primer lugar, observe que si \ (n = 0\) o \ (n = 1\) entonces la ecuación es lineal y ya sabemos cómo resolverla en estos casos. Por lo tanto, en esta sección vamos a buscar soluciones para valores de \(n\) distintos de estos dos.
Ahora vamos a utilizar la sustitución \(v = {y^{1 – n}}) para convertir esto en una ecuación diferencial en términos de \(v\). Como veremos esto nos llevará a una ecuación diferencial que podemos resolver.
Vamos a tener que tener cuidado con esto, sin embargo, cuando se trata de hacer frente a la derivada, \ (y’\ ~). Tenemos que determinar lo que es \(y’\\) en términos de nuestra sustitución. Esto es más fácil de hacer de lo que podría parecer a primera vista. Todo lo que tenemos que hacer es diferenciar ambos lados de nuestra sustitución con respecto a \(x\). Recuerde que tanto \ (v\) y \ (y\) son funciones de \ (x\) y por lo que tendremos que utilizar la regla de la cadena en el lado derecho. Si recuerdas tu Cálculo I recordarás que esto es sólo diferenciación implícita. Así que, tomando la derivada nos da,
Derivar la ecuación de bernoulli pdf
Este artículo trata sobre el principio de Bernoulli y la ecuación de Bernoulli en dinámica de fluidos. Para el teorema de Bernoulli en probabilidad, véase ley de los grandes números. Para un tema no relacionado con las ecuaciones diferenciales ordinarias, véase Ecuación diferencial de Bernoulli.
En dinámica de fluidos, el principio de Bernoulli establece que un aumento de la velocidad de un fluido se produce simultáneamente con una disminución de la presión estática o una disminución de la energía potencial del fluido[1]: Ch.3 [2]: 156-164, § 3.5 El principio debe su nombre a Daniel Bernoulli, que lo publicó en su libro Hydrodynamica en 1738[3]. Aunque Bernoulli dedujo que la presión disminuye cuando aumenta la velocidad del flujo, fue Leonhard Euler, en 1752, quien derivó la ecuación de Bernoulli en su forma habitual[4][5] El principio sólo es aplicable para flujos isentrópicos: cuando los efectos de los procesos irreversibles (como la turbulencia) y los procesos no adiabáticos (por ejemplo, la radiación de calor) son pequeños y pueden despreciarse.
El principio de Bernoulli puede aplicarse a varios tipos de flujos, lo que da lugar a varias formas de la ecuación de Bernoulli. La forma simple de la ecuación de Bernoulli es válida para los flujos incompresibles (por ejemplo, la mayoría de los flujos de líquidos y gases que se mueven con un número de Mach bajo). Pueden aplicarse formas más avanzadas a los flujos compresibles con números de Mach más altos (véanse las derivaciones de la ecuación de Bernoulli).