Derivación de la ecuación del calor
La conducción térmica es la transferencia de energía interna mediante colisiones microscópicas de partículas y el movimiento de electrones dentro de un cuerpo. Las partículas que colisionan, que incluyen moléculas, átomos y electrones, transfieren energía cinética y potencial microscópica desorganizada cuando se unen, lo que se conoce como energía interna. La conducción tiene lugar en la mayoría de las fases: sólida, líquida, gaseosa y plasmática.
El calor fluye espontáneamente de un cuerpo más caliente a otro más frío. Por ejemplo, el calor se conduce desde la placa caliente de una estufa eléctrica hasta el fondo de una cacerola en contacto con ella. En ausencia de una fuente de energía impulsora externa opuesta, dentro de un cuerpo o entre cuerpos, las diferencias de temperatura disminuyen con el tiempo, y el equilibrio térmico se aproxima, la temperatura se vuelve más uniforme.
En la conducción, el flujo de calor se produce dentro y a través del propio cuerpo. En cambio, en la transferencia de calor por radiación térmica, la transferencia suele producirse entre cuerpos, que pueden estar separados espacialmente. También es posible la transferencia de calor por una combinación de conducción y radiación térmica. En la convección, la energía interna es transportada entre cuerpos por un material portador en movimiento. En los sólidos, la conducción está mediada por la combinación de vibraciones y colisiones de moléculas, de propagación y colisiones de fonones, y de difusión y colisiones de electrones libres. En los gases y líquidos, la conducción se debe a las colisiones y la difusión de las moléculas durante su movimiento aleatorio. En este contexto, los fotones no colisionan entre sí, por lo que el transporte de calor por radiación electromagnética es conceptualmente distinto de la conducción de calor por difusión y colisiones microscópicas de partículas materiales y fonones. Pero la distinción no suele ser fácil de observar a menos que el material sea semitransparente.
Solucionador de ecuaciones térmicas
Consideramos primero el caso unidimensional de la conducción de calor. Para ello se puede utilizar una varilla larga y delgada con muy buena aproximación. Suponemos que el calor sólo se transfiere a lo largo de la varilla y no lateralmente a los alrededores (varilla aislada térmicamente).
Además, las propiedades del material de la varilla homogénea, como la capacidad calorífica y la densidad, se consideran constantes. Ahora la varilla se calienta en un punto o incluso en varios puntos. El calor fluye entonces desde los lugares de mayor temperatura a los de menor. Como resultado, los puntos calientes se enfrían y los más fríos se calientan, hasta que en algún momento las temperaturas se han igualado y la varilla tiene una temperatura uniforme y temporalmente constante.
Durante la igualación de temperaturas consideramos ahora una sección infinitesimal dx en cualquier punto. Esta sección cambia su temperatura en dT dentro del período de tiempo dt debido al calor Qn. Se aplica la siguiente relación entre el calor Qn y el cambio de temperatura dT (c denota la capacidad calorífica específica):
Ecuación del calor
Gráfico animado de la evolución de la temperatura en una placa metálica cuadrada según la predicción de la ecuación del calor. La altura y el color rojo indican la temperatura en cada punto. El estado inicial tiene una región uniformemente caliente en forma de casco (rojo) rodeada por una región uniformemente fría (amarillo). A medida que pasa el tiempo, el calor se difunde hacia la región fría.
En matemáticas y física, la ecuación del calor es una determinada ecuación diferencial parcial. Las soluciones de la ecuación del calor se conocen a veces como funciones calóricas. La teoría de la ecuación del calor fue desarrollada por primera vez por Joseph Fourier en 1822 con el propósito de modelar cómo una cantidad como el calor se difunde a través de una región determinada.
donde (x1, …, xn, t) denota un punto general del dominio. Es típico referirse a t como “tiempo” y a x1, …, xn como “variables espaciales”, incluso en contextos abstractos donde estas frases no tienen su significado intuitivo. La colección de variables espaciales suele denominarse simplemente x. Para cualquier valor de t, el lado derecho de la ecuación es el laplaciano de la función u(⋅, t) : U → R. De este modo, la ecuación del calor suele escribirse de forma más compacta como
Coeficiente de transferencia de calor
donde ρ es la densidad del fluido (unidad SI: kg/m3), A es el área de la sección transversal del tubo (unidad SI: m2) disponible para el flujo, Cp (unidad SI: J/(kg-K)) es la capacidad calorífica a presión constante, T (unidad SI: K) es la temperatura. u es un campo de velocidad. Para obtener información sobre la velocidad tangencial en el flujo de una tubería, véase Teoría de la interfaz de flujo de una tubería. Además, k (unidad SI: W/(m-K)) es la conductividad térmica. El segundo término del lado derecho corresponde al calor por fricción disipado debido al cizallamiento viscoso. Q (unidad del SI: W/m) representa una fuente de calor general y Qwall (unidad del SI: W/m) representa el intercambio de calor externo a través de la pared de la tubería. Tenga en cuenta que el término Qwall se detalla a continuación.
Este término es opcional y puede utilizarse si se espera que la caída de presión sea considerable y el fluido sea compresible. La contribución sigue la misma teoría que el término de trabajo de presión descrito en la sección El flujo no isotérmico y las ecuaciones de transferencia de calor conjugadas en la Guía del usuario del módulo de transferencia de calor.
En la ecuación 3-3, (hZ)eff es un valor efectivo del coeficiente de transferencia de calor h (unidad SI: W/(m2-K)) multiplicado por el perímetro de la pared Z (unidad SI: m) de la tubería. Texto (unidad del SI: K) la temperatura exterior de la tubería. Véase la figura 3-5. Qwall aparece como término fuente en la ecuación de transferencia de calor de la tubería, Ecuación 3-1.