Ceros de la función de Bessel
para un número complejo arbitrario α, el orden de la función de Bessel. Aunque α y -α producen la misma ecuación diferencial, es convencional definir funciones de Bessel diferentes para estos dos valores, de manera que las funciones de Bessel son en su mayoría funciones suaves de α.
Los casos más importantes son cuando α es un entero o un semi-integro. Las funciones de Bessel para α entero también se conocen como funciones cilíndricas o los armónicos cilíndricos porque aparecen en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas. Las funciones de Bessel esféricas con α semientero se obtienen cuando se resuelve la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas.
La ecuación de Bessel surge al encontrar soluciones separables de la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por tanto, las funciones de Bessel son especialmente importantes para muchos problemas de propagación de ondas y potenciales estáticos. Al resolver problemas en sistemas de coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (α = n); en los problemas esféricos, se obtienen órdenes semienteros (α = n + 1/2). Por ejemplo:
Prueba de la ecuación diferencial de Bessel
La ecuación diferencial dada lleva el nombre del matemático y astrónomo alemán Friedrich Wilhelm Bessel, que estudió esta ecuación en detalle y demostró (en 1824) que sus soluciones se expresan en términos de una clase especial de funciones llamadas funciones cilíndricas o funciones de Bessel.
Las funciones de Bessel pueden calcularse en la mayoría de los paquetes de software matemático, así como en MS Excel. Por ejemplo, las funciones de Bessel del tipo \(1\)st de órdenes \(v = 0\) a \(v = 4\) se muestran en la figura \(1.\)
Si el orden \(v\) de la ecuación diferencial de Bessel es un número entero, las funciones de Bessel \({J_v}left( x \right)\) y \({J_{ – v}left( x \right)\) pueden ser dependientes entre sí. En este caso, la solución general se describe mediante otra fórmula:
Si el orden \(v\) de la ecuación diferencial de Bessel es un número entero, las funciones de Bessel \({J_v}izquierda( x \ derecha)\) y \({J_{ – v}izquierda( x \ derecha)\) pueden hacerse dependientes entre sí. En este caso, la solución general se describe mediante otra fórmula:
Función de Bessel del primer tipo
para un número complejo arbitrario α, el orden de la función de Bessel. Aunque α y -α producen la misma ecuación diferencial, es convencional definir diferentes funciones de Bessel para estos dos valores de manera que las funciones de Bessel son en su mayoría funciones suaves de α.
Los casos más importantes son cuando α es un entero o un semi-integro. Las funciones de Bessel para α entero también se conocen como funciones cilíndricas o los armónicos cilíndricos porque aparecen en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas. Las funciones de Bessel esféricas con α semientero se obtienen cuando se resuelve la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas.
La ecuación de Bessel surge al encontrar soluciones separables de la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por tanto, las funciones de Bessel son especialmente importantes para muchos problemas de propagación de ondas y potenciales estáticos. Al resolver problemas en sistemas de coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (α = n); en los problemas esféricos, se obtienen órdenes semienteros (α = n + 1/2). Por ejemplo:
Integral de la función de Bessel
A Daniel Bernoulli (1700–1782) se le atribuye generalmente ser el primero en introducir el concepto de funciones de Bessel en 1732 (San Petersburgo). Utilizó la función de orden cero J0(x) como solución al problema de una oscilación
Las funciones de Bessel fueron utilizadas por Lagrange en 1770, en la teoría del movimiento planetario, por Fourier en su teoría del flujo de calor (1822), por Poisson en la teoría del flujo de calor en cuerpos esféricos (1823), y por Bessel, que estudió estas funciones en detalle hacia 1824. Fue Lord Rayleigh quien demostró que las funciones de Bessel
Esta sección trata sobre la ecuación de Bessel y sus soluciones, conocidas como funciones de Bessel o funciones cilíndricas. El origen del término cilindro se debe a que estas funciones se encuentran al estudiar los problemas de valores límite de la teoría de potencial para coordenadas cilíndricas.
El análisis sistemático de las soluciones de la ecuación \eqref{EqBessel.1} fue realizado alrededor de 1817 por el astrónomo alemán Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846) durante una investigación de las soluciones de una de las ecuaciones de Kepler del movimiento planetario.