Ecuación diferencial de Cauchy-Euler no homogénea
\[\cancel{e^{2t}}\cancel{e^{2t}}left( {\frac{{d^2}y}{d{t^2}} – \frac{dy}{dt}} \right) + A\cancel{e^t}\cancel{e^ – t}{frac{dy}{dt}} + By = 0,\N; \N-flecha derecha \Nfrac{{d^2}}y}{d{t^2}} – \frac{{dy}}{dt}} + A\frac{{dy}{dt}} + By = 0,\N;\N-flecha derecha \Nfrac{{d^2}y}{d{t^2}} + \left( {A – 1} \right)\frac{{dy}}{dt}} + By = 0.\N-]
Ahora podemos determinar las raíces de la ecuación característica y escribir la solución general de la función \left( t \right).\N-. Entonces podemos volver fácilmente a la función \(y\left( x \right)\Nteniendo en cuenta que
\[{x^2}k\left( {k – 1} \right){x^{k – 2}} + Axk{x^k – 1} + B{x^k} = 0,\N; \N-flecha derecha kleft( {k – 1} \Nright){x^k} + Ak{x^k} + B{x^k} = 0 + B{x^k} = 0,\;\; \Rightarrow \left[ {k\left( {k – 1} \right) + Ak + B} \right]{x^k} = 0.\]
podemos construir fácilmente la solución general de forma similar al método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes. El algoritmo de la solución es el siguiente:
Ejemplos de ecuaciones de Euler-cauchy
En esta sección examinaremos cómo resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. La terminología y los métodos son diferentes de los que utilizamos para las ecuaciones homogéneas, así que vamos a empezar por definir algunos términos nuevos.
Para demostrar que \(y(x)\Nes la solución general, primero debemos mostrar que resuelve la ecuación diferencial y, segundo, que cualquier solución de la ecuación diferencial puede escribirse de esa forma. Sustituyendo \(y(x)\Nen la ecuación diferencial, tenemos
por lo que \(z(x)-y_p(x)\Nes una solución de la ecuación complementaria. Pero, \(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\ es la solución general de la ecuación complementaria, por lo que existen las constantes \(c_1\) y \(c_2\) tales que
En el apartado anterior hemos aprendido a resolver ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Por tanto, para las ecuaciones no homogéneas de la forma \(ay″+by′+cy=r(x)\), ya sabemos cómo resolver la ecuación complementaria, y el problema se reduce a encontrar una solución particular para la ecuación no homogénea. A continuación examinamos dos técnicas para ello: el método de los coeficientes indeterminados y el método de la variación de los parámetros.
Solucionador de la ecuación de euler de Cauchy
Al igual que en el caso de la resolución de ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes (estableciendo primero y = e mx y resolviendo después la ecuación cuadrática auxiliar resultante para m), este proceso de resolución de la ecuación equidimensional también arroja una ecuación polinómica cuadrática auxiliar. La pregunta aquí es, ¿cómo se interpreta que y = x m da dos soluciones linealmente independientes (y por tanto la solución general) en cada uno de los tres casos para las raíces de la ecuación cuadrática resultante?
Como las raíces de la ecuación cuadrática resultante son reales y distintas (caso 1), tanto y = x 1 = x como y = x 3 son soluciones y linealmente independientes, y la solución general de esta ecuación homogénea es
Como las raíces de la ecuación cuadrática resultante son reales e idénticas (Caso 2), tanto y = x 2 como y = x 2 En x son soluciones (linealmente independientes), por lo que la solución general (válida para x > 0) de esta ecuación homogénea es
Si se desea la solución general de una ecuación equidimensional no homogénea, primero se utiliza el método anterior para obtener la solución general de la ecuación homogénea correspondiente; luego se aplica la variación de parámetros.
Ecuación diferencial de Cauchy-euler pdf
En matemáticas, una ecuación de Euler-Cauchy, o ecuación de Cauchy-Euler, o simplemente ecuación de Euler es una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes variables. A veces se la denomina ecuación equidimensional. Debido a su estructura equidimensional particularmente simple, la ecuación diferencial puede resolverse explícitamente.
La ecuación de Cauchy-Euler más común es la ecuación de segundo orden, que aparece en varias aplicaciones de física e ingeniería, como cuando se resuelve la ecuación de Laplace en coordenadas polares. La ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden es[1][2]
Ahora se puede proceder como en el caso de la ecuación diferencial, ya que la solución general de una ecuación diferencial lineal de N-ésimo orden es también la combinación lineal de N soluciones linealmente independientes. Aplicando la reducción de orden en el caso de una raíz múltiple m1 se obtendrán expresiones que implican una versión discreta de ln,