Soluciones de relatividad general
Sólo un breve post a raíz del centenario de la Relatividad General celebrado ayer, tras el cual alguien me preguntó qué tiene de difícil la teoría. Tenía dos respuestas, una matemática y otra conceptual.
Las ecuaciones de campo de la relatividad general están escritas arriba. En la notación utilizada no parecen tan espantosas, pero son más complicadas de lo que parecen. Para empezar, parece que sólo hay una ecuación, pero los subíndices μ y ν pueden tomar cuatro valores cada uno (normalmente 0, 1, 2 o 3), y cada valor representa una de las dimensiones del espacio-tiempo cuatridimensional. Por tanto, parece que en realidad hay 16 ecuaciones. Sin embargo, las ecuaciones son las mismas si se intercambian μ y ν. Esto significa que “sólo” hay diez ecuaciones independientes. Los términos de la izquierda son los componentes del tensor de Einstein, que expresa el efecto de la gravedad a través de la curvatura del espacio-tiempo, y los de la derecha describen la energía y el momento de la “materia”, precedidos de algunas constantes conocidas.
Ecuaciones de la relatividad especial
Antes de Einstein, el espacio parecía sin rasgos y sin cambios, como lo había definido Isaac Newton dos siglos antes. Y el tiempo, según Newton, fluía a su propio ritmo, ajeno a los relojes que lo medían. Pero Einstein observó el espacio y el tiempo y vio un único escenario dinámico -el espacio-tiempo- en el que la materia y la energía se pavoneaban, generando sonido y furia, significando gravedad.
La ley de la gravedad de Newton había unido la física terrestre de las manzanas que caen con las danzas cósmicas de los planetas y las estrellas. Pero no pudo explicar cómo, y es famoso que se negara a intentarlo. Fue necesario un Einstein para descubrir el verdadero modus operandi de la gravedad. Einstein demostró que la gravedad no sólo hace que lo que sube siempre baje. La gravedad hacía que el universo diera vueltas.
La teoría de Einstein explicaba una famosa observación que la gravedad newtoniana no podía: una sutileza en la órbita del planeta Mercurio. Y sus ecuaciones implicaban otras ligeras desviaciones de los cálculos newtonianos. A lo largo del último siglo, las predicciones de la relatividad general han sido verificadas repetidamente por las modernas mediciones de precisión. Para los físicos de hoy, la relatividad general y la gravedad son esencialmente sinónimos.
Resolución de las ecuaciones de campo de Einstein
Las mismas ecuaciones (mutatis mutandis) se han utilizado y resuelto en dimensiones superiores (véase el anillo negro), con algunas de las mismas técnicas, pero hasta ahora se ha explorado muy poco el paisaje completo de posibles soluciones en 5 o más dimensiones.
\(A_{(ab)}:=\tfrac{1}{2}(A_{ab}+A_{ba})\) [y análogamente \(A_{[ab]}:=tfrac{1}{2}(A_{ab}-A_{ba})\N)] y el punto y coma denota una derivada covariante. Supuestos sobre la existencia de un grupo de isometría
simétrica, esto está lejos de ser el caso para todas las soluciones). Los artículos originales en los que se derivaron por primera vez las soluciones seleccionadas están todos disponibles, habiendo sido incluidos, excepto el primer artículo sobre ondas planas, en la serie “Golden Oldies”.
donde \(m\) es la masa del objeto central (definida en \(r \rightarrow \infty\) por la comparación con el efecto gravitatorio de una masa newtoniana en el centro: aquí la masa se mide en unidades geométricas (es decir, unidades tales que \(c=G=1\)). Hay otros sistemas de coordenadas que se utilizan con frecuencia.
Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein
Las ecuaciones de campo de Einstein son diez ecuaciones, contenidas en la ecuación tensorial mostrada arriba, que describen la gravedad como resultado de la curvatura del espaciotiempo por la masa y la energía. está determinada por la curvatura del espacio y el tiempo en un punto particular del espacio y el tiempo, y se equipara con la energía y el momento en ese punto. Las soluciones a estas ecuaciones son los componentes del tensor métrico , que especifica la geometría del espacio-tiempo. Las trayectorias inerciales de las partículas pueden entonces encontrarse utilizando la ecuación geodésica.
¡Las ecuaciones deben estar equivocadas! Aunque la teoría y las ecuaciones han pasado todas las pruebas, son intrínsecamente incompatibles con la teoría cuántica (que también ha pasado todas las pruebas experimentales). El problema es que las ecuaciones exigen que la energía y el momento se definan con precisión en cada punto del espacio-tiempo, lo que contradice el principio de incertidumbre para los estados cuánticos. Esto no es un problema sólo para altas energías o distancias cortas, es una incompatibilidad conceptual que se aplica en todos los laboratorios.