Problemas de elipses con soluciones
Como los vértices están en (0,-7) y (0,7), el eje transversal de la hipérbola es el eje y, el centro está en (0,0) y la ecuación de la hipérbola tiene la forma y 2 / a 2 – x 2 / b 2 = 1 con a 2 = 49. La asíntota viene dada por y = +o-(a/b)x, por tanto a/b = 3 lo que da a 2 = 9 b 2.
Como los focos están en (-2,0) y (2,0), el eje transversal de la hipérbola es el eje x, el centro está en (0,0) y la ecuación de la hipérbola tiene la forma x 2 / a 2 – y 2 / b 2 = 1 con c 2 = 4 = a 2 + b 2
Como los focos están en (-1,0) y (1,0), el eje transversal de la hipérbola es el eje x, el centro está en (0,0) y la ecuación de la hipérbola tiene la forma x 2 / a 2 – y 2 / b 2 = 1 con c 2 = 1 2 = a 2 + b 2
Resolución de problemas de hipérbola
¿Qué tienen en común las trayectorias de los cometas, los estampidos supersónicos, los antiguos pilares griegos y las torres de refrigeración de tiro natural? Todos ellos pueden ser modelados por el mismo tipo de cónica. Por ejemplo, cuando algo se mueve más rápido que la velocidad del sonido, se crea una onda de choque en forma de cono. Una parte de la cónica se forma cuando la onda se cruza con el suelo, lo que da lugar a un estampido sónico. Véase la figura 1.
La mayoría de la gente está familiarizada con el estampido sónico creado por los aviones supersónicos, pero el ser humano ya rompía la barrera del sonido mucho antes del primer vuelo supersónico. El chasquido de un látigo se produce porque la punta supera la velocidad del sonido. Las balas disparadas por muchas armas de fuego también rompen la barrera del sonido, aunque el estruendo del arma suele superar el sonido del estampido sónico.
Localización de los vértices y focos de una hipérbolaEn la geometría analítica, una hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un cono circular recto con un plano en un ángulo tal que ambas mitades del cono son intersectadas. Esta intersección produce dos curvas separadas no limitadas que son imágenes especulares la una de la otra. Véase la figura 2.
Ecuación de la hipérbola
67. Las estaciones LORAN A y B están separadas por 100 kilómetros y envían una señal de radio simultánea a un barco. La señal de A llega 0,0002 segundos antes que la señal de B. Si la señal recorre 300.000 kilómetros por segundo, halle una ecuación de la hipérbola en la que se sitúa el barco si los focos están situados en A y B.
68. Truenos y relámpagos Anita y Samir están parados a 3050 pies de distancia cuando ven que un rayo golpea el suelo. Anita oye el trueno 0,5 segundos antes que Samir. El sonido viaja a 1100 pies por segundo. Encuentra la ecuación de la hipérbola en la que se sitúa el golpe de luz si Anita y Samir se encuentran en los focos.
69. Torre de refrigeración La torre de refrigeración de una central eléctrica tiene los lados en forma de hipérbola. La torre tiene una altura de 179,6 metros. El diámetro en la parte superior es de 72 metros. En su punto más cercano, los lados de la torre están separados por 60 metros. Encuentra una ecuación que modele los lados de la torre de refrigeración.
70. Calibración Un sismólogo coloca dos dispositivos de registro a 340 pies de distancia en los puntos A y B. Para comprobar la calibración, se detona un explosivo entre los dispositivos a 90 pies del punto A. Se anota el tiempo que registran las explosiones en los dispositivos y se calcula la diferencia. Se detonará una segunda explosión al este del punto A. ¿A qué distancia al este debe situarse la segunda explosión para que la diferencia de tiempo medida sea la misma que la de la primera explosión?
Ecuación de la asíntota de la hipérbola
Una hipérbolaEs el conjunto de puntos de un plano cuyas distancias a dos puntos fijos, llamados focos, tiene una diferencia absoluta que es igual a una constante positiva. es el conjunto de puntos de un plano cuyas distancias a dos puntos fijos, llamados focos, tiene una diferencia absoluta que es igual a una constante positiva. En otras palabras, si los puntos F1 y F2 son los focos y d es una constante positiva dada, entonces (x,y) es un punto de la hipérbola si d=|d1-d2| como se muestra a continuación:
Además, una hipérbola está formada por la intersección de un cono con un plano oblicuo que corta la base. Consta de dos curvas separadas, llamadas ramasLas dos curvas separadas de una hipérbola.. Los puntos de las ramas separadas de la gráfica donde la distancia es mínima se llaman vértices.Puntos de las ramas separadas de una hipérbola donde la distancia es mínima. El punto medio entre los vértices de una hipérbola es su centro. A diferencia de una parábola, una hipérbola es asintótica a ciertas líneas trazadas a través del centro. En esta sección, nos centraremos en graficar las hipérbolas que se abren a la izquierda y a la derecha o hacia arriba y hacia abajo.