Calcular la órbita elíptica
sin especificar la posición en función del tiempo. Bajo los supuestos estándar, un cuerpo que se mueve bajo la influencia de una fuerza, dirigida a un cuerpo central, con una magnitud inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (como la gravedad), tiene una órbita que es una sección cónica (es decir, órbita circular, órbita elíptica, trayectoria parabólica, trayectoria hiperbólica o trayectoria radial) con el cuerpo central situado en uno de los dos focos, o el foco (primera ley de Kepler).
Si la sección cónica interseca el cuerpo central, entonces la trayectoria real sólo puede ser la parte que está por encima de la superficie, pero para esa parte se sigue aplicando la ecuación de la órbita y muchas fórmulas relacionadas, siempre que se trate de una caída libre (situación de ingravidez).
Si el máximo es menor que el radio del cuerpo central, entonces la sección cónica es una elipse que está totalmente dentro del cuerpo central y ninguna parte de ella es una trayectoria posible. Si el máximo es mayor, pero el mínimo es menor que el radio, parte de la trayectoria es posible:
Simulador de mecánica orbital
En primer lugar, imaginemos un satélite que se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra, como se ve en la figura 1. Sólo hay una fuerza que actúa sobre el satélite, que es la fuerza gravitatoria de la Tierra. La fuerza viene dada por
donde se denomina parámetro gravitatorio. Para la Tierra se convierte en . Aquí, es el radio medio de la Tierra y es la altitud del satélite sobre la superficie (media) de la Tierra. Entonces, la velocidad anterior es la que debe tener un satélite para mantener una velocidad circular alrededor de la Tierra a un radio o altitud determinados.
Introduzca la ecuación del cohete ideal . La suposición para la ecuación es que el satélite quema su motor durante un tiempo corto, lo que suele ser cierto para un satélite con un motor de cohete químico. A la hora de planificar la órbita de un satélite, es importante contar con el llamado “presupuesto delta-v”, que indica exactamente la cantidad de combustible necesaria para que el satélite alcance una órbita determinada y se mantenga en ella. Como se pueden sumar varios, se puede calcular fácilmente la masa total necesaria para el total. Volveremos a hablar de ello en breve.
Ecuación orbital de Kepler
La ecuación diferencial de la órbita relaciona la forma del movimiento orbital, en coordenadas polares planas, con la dependencia radial de la fuerza central de dos cuerpos. Una transformación de coordenadas de Binet, que depende de la forma funcional de \(\mathbf{F}(\mathbf{r}),\) puede simplificar la ecuación orbital diferencial. Para la fuerza de la ley del cuadrado inverso, la mejor variable transformada de Binet es \(u\) que se define como \[u\equiv \frac{1}{r}] Al insertar la variable transformada \(u\) en la ecuación \((11.4.2)\Nse obtiene
La ecuación diferencial de la órbita de Binet relaciona directamente \(\psi) y \(r\) lo que determina la forma global de la trayectoria de la órbita. Esta forma es crucial para entender el movimiento orbital de dos cuerpos que interactúan a través de una fuerza central de dos cuerpos. Obsérvese que para el caso especial de una fuerza de ley cuadrada inversa, es decir, cuando \(F(\frac{1}{u})=ku^{2}}), entonces el lado derecho de la ecuación \ref{11.39} es igual a una constante \(-\frac{{mu k}{l^{2}}) ya que el momento angular orbital es una cantidad conservada.
Elementos orbitales
La mecánica orbital es una rama de la física planetaria que utiliza observaciones y teorías para examinar la órbita elíptica de la Tierra, su inclinación y cómo gira. Las observaciones del comportamiento orbital de los planetas, lunas o satélites (orbitadores) pueden proporcionar información sobre el planeta orbitado gracias a la comprensión de cómo estas propiedades orbitales están relacionadas con las fuerzas gravitatorias.
El ser humano lleva estudiando la mecánica orbital desde 1543, cuando Copérnico descubrió que los planetas, incluida la Tierra, orbitan alrededor del Sol, y que los planetas con un radio orbital mayor alrededor de su estrella tienen un periodo más largo y, por tanto, una velocidad más lenta. Aunque hoy nos parezcan sencillas, en aquella época eran ideas radicales. Johannes Kepler desarrolló las ideas de Copérnico a principios de 1600, afirmando que las órbitas siguen trayectorias elípticas, y que las órbitas barren una superficie igual en un tiempo igual (Figura \(\PageIndex{1}\)). La misma área (azul) es barrida en un período de tiempo fijo. La flecha verde es la velocidad. La flecha púrpura dirigida hacia el Sol es la aceleración. Las otras dos flechas moradas son componentes de aceleración paralelas (tangentes a la órbita) y perpendiculares a la velocidad.