Relatividad general para matemáticos
La ecuación de campo de Einstein o ecuación de Einstein es una ecuación dinámica que describe cómo la materia y la energía cambian la geometría del espaciotiempo, interpretándose esta geometría curvada como el campo gravitatorio de la fuente de materia. El movimiento de los objetos (con una masa mucho menor que la de la fuente de materia) en este campo gravitatorio se describe con gran precisión mediante la ecuación geodésica.
La ecuación EFE es una ecuación tensorial que relaciona un conjunto de tensores simétricos de 4 x 4. Se escribe aquí en términos de componentes. Cada tensor tiene 10 componentes independientes. Dada la libertad de elección de las cuatro coordenadas espaciotemporales, las ecuaciones independientes se reducen a 6 en número.
(dada una determinada distribución de materia y energía en forma de tensor de tensión-energía). A pesar de la apariencia sencilla de la ecuación, en realidad es bastante complicada. Esto se debe a que tanto el tensor de Ricci como el escalar de Ricci dependen de la métrica de una manera no lineal complicada.
La expresión de la izquierda representa la curvatura del espaciotiempo determinada por la métrica y la expresión de la derecha representa el contenido de materia/energía del espaciotiempo. La EFE puede interpretarse entonces como un conjunto de ecuaciones que dictan cómo la curvatura del espaciotiempo está relacionada con el contenido de materia/energía del universo.
Tensor de Einstein
Supón que tienes dos objetos, digamos el Sol y la Tierra, con masas y respectivamente. Escribe la distancia entre los dos objetos. Entonces la ley de Newton dice que la fuerza gravitatoria entre ellos es
donde es un número fijo, conocido como la constante de Newton. La fórmula tiene un sentido intuitivo: nos dice que la gravedad se hace más débil a grandes distancias (cuanto más grande, más pequeña) y que la fuerza gravitatoria es más fuerte entre los objetos más masivos (cuanto más grande sea cualquiera de y, más grande).
El término del lado derecho de la ecuación describe todo lo que hay que saber sobre la forma en que la masa, la energía, el impulso y la presión se distribuyen por el Universo. Es lo que se convirtió en el término de la ecuación de Newton, pero es mucho más complicado. Todas estas cosas son necesarias para averiguar cómo se curvan el espacio y el tiempo. se conoce con el término técnico de tensor de energía-momento. La constante que aparece en el lado derecho de la ecuación es de nuevo la constante de Newton y es la velocidad de la luz.
Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein
Las ecuaciones de Einstein son la piedra angular de su teoría general de la relatividad. Describen cómo las distorsiones del espaciotiempo están conectadas con las propiedades (masa, energía, presión…) de cualquier materia presente.
Utilizando una versión compacta del lenguaje matemático, las ecuaciones de Einstein, todo un sistema de ecuaciones, pueden escribirse de forma abreviada para que parezcan formar una única ecuación. Por eso, a veces, se las llama “ecuación de Einstein” en singular.
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Las mismas ecuaciones (mutatis mutandis) se han utilizado y resuelto en dimensiones superiores (véase el anillo negro), con algunas de las mismas técnicas, pero hasta ahora se ha explorado muy poco el paisaje completo de posibles soluciones en 5 o más dimensiones.
\(A_{(ab)}:=\tfrac{1}{2}(A_{ab}+A_{ba})\) [y análogamente \(A_{[ab]}:=tfrac{1}{2}(A_{ab}-A_{ba})\N)] y el punto y coma denota una derivada covariante. Supuestos sobre la existencia de un grupo de isometría
simétrica, esto está lejos de ser el caso para todas las soluciones). Los artículos originales en los que se derivaron por primera vez las soluciones seleccionadas están todos disponibles, habiendo sido incluidos, excepto el primer artículo sobre ondas planas, en la serie “Golden Oldies”.
donde \(m\) es la masa del objeto central (definida en \(r \rightarrow \infty\) por la comparación con el efecto gravitatorio de una masa newtoniana en el centro: aquí la masa se mide en unidades geométricas (es decir, unidades tales que \(c=G=1\)). Hay otros sistemas de coordenadas que se utilizan con frecuencia.