Trayectoria del proyectil
En física, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema físico en términos de su movimiento en función del tiempo[1]. Más concretamente, las ecuaciones de movimiento describen el comportamiento de un sistema físico como un conjunto de funciones matemáticas en términos de variables dinámicas. Estas variables suelen ser coordenadas espaciales y tiempo, pero pueden incluir componentes de momento. La opción más general son las coordenadas generalizadas, que pueden ser cualquier variable conveniente característica del sistema físico[2] Las funciones se definen en un espacio euclidiano en la mecánica clásica, pero se sustituyen por espacios curvos en la relatividad. Si se conoce la dinámica de un sistema, las ecuaciones son las soluciones de las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la dinámica.
Hay dos descripciones principales del movimiento: la dinámica y la cinemática. La dinámica es general, ya que se tienen en cuenta los momentos, las fuerzas y la energía de las partículas. En este caso, a veces el término dinámica se refiere a las ecuaciones diferenciales que satisface el sistema (por ejemplo, la segunda ley de Newton o las ecuaciones de Euler-Lagrange), y a veces a las soluciones de esas ecuaciones.
Vector de desplazamiento
Cuando un cuerpo se desplaza de un punto a otro, lo hace describiendo una línea geométrica en el espacio. Esa línea geométrica se llama trayectoria, y está formada por las sucesivas posiciones del extremo del vector de posición a lo largo del tiempo. Por ello, a menudo encontramos las coordenadas x, y y z del vector de posición escritas en función del tiempo, como x(t),y(t) y z(t) para representar la evolución de la posición de los cuerpos con el tiempo.
El gráfico muestra la trayectoria (línea gris) que sigue un cuerpo representado por un punto rojo a lo largo del tiempo. En nuestro ejemplo, esta trayectoria viene dada por la ecuación de trayectoria r⃗(t) = (t+1)- i⃗ + (0,05 – t2 + 0,1 – t + 0,05)- j⃗ m, que define en cada momento t, que es el vector de posición del cuerpo.
Arrastra el deslizador de tiempo y comprueba cómo cambia el cuerpo y su vector de posición a medida que lo mueves. El vector de posición en cada tiempo t se obtiene sustituyendo el valor de t que hayas elegido en la ecuación de la trayectoria.
Toma el siguiente ejemplo, imagina que un tren se mueve hacia el este 50 metros cada segundo. Después del primer segundo el tren se encuentra a 50 metros del origen. Después del segundo 2, el tren se encuentra a 100 metros del origen y así sucesivamente. Por lo tanto, podríamos escribir:
Vector de velocidad
El movimiento de proyectil es el movimiento de un objeto lanzado o proyectado al aire, sujeto únicamente a la aceleración como resultado de la gravedad. Las aplicaciones del movimiento de proyectil en física e ingeniería son numerosas. Algunos ejemplos son los meteoritos al entrar en la atmósfera terrestre, los fuegos artificiales y el movimiento de cualquier pelota en los deportes. Estos objetos se denominan proyectiles y su trayectoria se denomina trayectoria. El movimiento de los objetos que caen, tal y como se ha explicado en el apartado Movimiento en línea recta, es un tipo de movimiento de proyectil simple y unidimensional en el que no hay movimiento horizontal. En esta sección, consideramos el movimiento bidimensional de los proyectiles, y nuestro tratamiento desprecia los efectos de la resistencia del aire.
El hecho más importante que hay que recordar aquí es que los movimientos a lo largo de los ejes perpendiculares son independientes y, por tanto, pueden analizarse por separado. Este hecho lo hemos tratado en Vectores de desplazamiento y velocidad, donde vimos que los movimientos verticales y horizontales son independientes. La clave para analizar el movimiento bidimensional del proyectil es dividirlo en dos movimientos: uno a lo largo del eje horizontal y otro a lo largo del vertical. (Esta elección de ejes es la más sensata porque la aceleración resultante de la gravedad es vertical; por tanto, no hay aceleración a lo largo del eje horizontal cuando la resistencia del aire es despreciable). Como es habitual, llamamos al eje horizontal eje x y al eje vertical eje y. No es necesario que utilicemos esta elección de ejes; simplemente es conveniente en el caso de la aceleración gravitatoria. En otros casos podemos elegir un conjunto diferente de ejes. La figura 4.11 ilustra la notación para el desplazamiento, donde definimos s→s→ como el desplazamiento total, y x→x→ e y→y→ son sus vectores componentes a lo largo de los ejes horizontal y vertical, respectivamente. Las magnitudes de estos vectores son s, x e y.
Calcular la trayectoria para alcanzar el objetivo
Una trayectoria o camino de vuelo es la trayectoria que sigue un objeto con masa en movimiento a través del espacio en función del tiempo. En la mecánica clásica, una trayectoria se define mediante la mecánica hamiltoniana a través de coordenadas canónicas; por tanto, una trayectoria completa se define por la posición y el momento, simultáneamente.
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Un ejemplo familiar de trayectoria es la trayectoria de un proyectil, como una pelota o una piedra lanzada. En un modelo significativamente simplificado, el objeto se mueve sólo bajo la influencia de un campo de fuerza gravitatoria uniforme. Esta puede ser una buena aproximación para una roca que se lanza a distancias cortas, por ejemplo en la superficie de la luna. En esta simple aproximación, la trayectoria toma la forma de una parábola. En general, cuando se determinan las trayectorias, puede ser necesario tener en cuenta las fuerzas gravitatorias no uniformes y la resistencia del aire (arrastre y aerodinámica). Este es el objetivo de la disciplina de la balística.