Solución fundamental de la ecuación de Laplace
Se trata de la ecuación de Poisson, una generalización de la ecuación de Laplace. La ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson son los ejemplos más sencillos de ecuaciones diferenciales parciales elípticas. La ecuación de Laplace es también un caso especial de la ecuación de Helmholtz.
La teoría general de las soluciones de la ecuación de Laplace se conoce como teoría del potencial. Las soluciones dos veces diferenciables de forma continua de la ecuación de Laplace son las funciones armónicas,[1] que son importantes en múltiples ramas de la física, especialmente en la electrostática, la gravitación y la dinámica de fluidos. En el estudio de la conducción del calor, la ecuación de Laplace es la ecuación del calor en estado estacionario[2] En general, la ecuación de Laplace describe situaciones de equilibrio, o que no dependen explícitamente del tiempo.
{\displaystyle ^{2}f={frac {1}{r}}{frac {\parcial }{parcial r}}left(r{\frac {\parcial f}{parcial r}\a la derecha)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {{parcial ^2}}{{parcial ^{2}}}+{\frac {{parcial ^2}}{parcial z^{2}}=0. }
{\displaystyle \nabla ^{2}f={frac {1}{r^{2}} {{frac {\parcial}{parcial r}}left(r^{2}{frac {\parcial f}{parcial r}{right)+{{frac {1}{r^{2}{sin \theta}}{{frac {\parcial \theta}}. izquierda (seno de la teta), f (derecha), + 1 (seno de la teta), f (derecha), 0.
Separación de variables pde
La solución del caso con 1 condición de contorno no homogénea es el tipo de solución más básico. Para el propósito de este ejemplo, consideramos que las siguientes condiciones de contorno se cumplen para esta ecuación:
La restante EDO que tenemos no tiene solución SLP porque sólo conocemos una condición de contorno para ella. Tenemos que utilizar lo que hemos obtenido de la solución de SLP para ayudarnos a resolver esta EDO. De los pasos 1 y 2 hemos obtenido la siguiente información:
Sin embargo, esta función sólo satisface las 3 condiciones de contorno homogéneas. Para resolver la solución de la condición de contorno no homogénea, debemos considerar que la solución completa consiste en la siguiente serie infinita de términos:
Esta es la solución general para el conjunto específico de condiciones de contorno que asumimos al principio. Otras condiciones de contorno darán una solución diferente. Puedes ver la solución gráficamente introduciendo una suma parcial (por ejemplo, n empieza en 0 y termina en 10) en un solucionador numérico como Mathematica o Maple.
Separación de variables en coordenadas esféricas
Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell para regiones del espacio libres de carga estática se satisfacen para cualquier función de potencial diferenciable arbitraria \(\Phi(\overline{mathrm{r}) \) y \( \Psi(\overline{mathrm{r})\), que puede determinarse como se discute a continuación.
donde \( \overline{mathrm{D}=\varepsilon \overline{mathrm{E}}) y \( \overline{mathrm{B}=\mu \overline{mathrm{H}}). Sustituyendo (4.5.3) en (4.5.5), y (4.5.4) en (4.5.6) se obtiene la ecuación de Laplace:
Para encontrar los campos eléctricos o magnéticos estáticos producidos por cualquier conjunto de condiciones de contorno, sólo tenemos que resolver la ecuación de Laplace (4.5.7) para \(\Phi\) o \(\Psi\), y luego utilizar (4.5.3) o (4.5.4) para calcular el gradiente del potencial. Una aproximación a la resolución de la ecuación de Laplace se desarrolla en la siguiente sección.
Así que este potencial satisface la ecuación de Laplace. El álgebra podría haberse simplificado si en su lugar escribiéramos ∇2 en coordenadas esféricas (véase el Apéndice C), porque sólo el término radial es potencialmente distinto de cero para \(\Phi\) = 1/r: ∇2 = r-2(∂/∂r)(r2 ∂/∂r). En este caso, el factor más a la derecha es r2∂r-1/∂r = r2(-r-2) = -1, y ∂(-1)/∂r = 0, por lo que de nuevo ∇2\2(\Phi\) = 0.
Separación de variables de la ecuación de onda
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Podemos ver que la ecuación de Laplace correspondería a encontrar la solución de equilibrio (es decir, la solución independiente del tiempo) si no hubiera fuentes. Por lo tanto, se trata de una ecuación que puede surgir de situaciones físicas.
La forma de resolver la ecuación de Laplace dependerá de la geometría del objeto bidimensional sobre el que la resolvamos. Empecemos resolviéndola en el rectángulo dado por \N(0 \le x \le L\),\N(0 \le y \Nh). Para esta geometría la ecuación de Laplace junto con las cuatro condiciones de contorno será,
\N – [\N – comienzo de la ecuación] & {\nabla ^2}u = \frac {{parcial ^2}} {{parcial {x^2}} + \frac {{parcial ^2}} {{parcial {y^2}} = 0\\ y u\left( {0,y} \right) = {g_1}left( y \right)\hspace{0. 25in}u\left( {L,y} \right) = {g_2}left( y \right)\ y u\left( {x,0} \right) = {f_1}left( x \right)\hspace{0. 25in}u\a la izquierda( {x,H}\a la derecha) = {f_2}\a la izquierda( x\a la derecha)\a la derecha{alineado}\a la etiqueta{eq:eq1}\a la derecha{ecuación}]