Calculadora de conversión de fracciones a ecuaciones cuadráticas
puede resolverse mediante la conocida fórmula cuadrática, que se obtiene completando el cuadrado. Esa fórmula siempre da las raíces de la ecuación cuadrática, pero las soluciones se expresan en una forma que a menudo implica un número cuadrático irracional, que es una fracción algebraica que puede evaluarse como fracción decimal sólo aplicando un algoritmo adicional de extracción de raíces.
Si las raíces son reales, existe una técnica alternativa que obtiene una aproximación racional a una de las raíces manipulando directamente la ecuación. El método funciona en muchos casos, y hace tiempo estimuló el desarrollo de la teoría analítica de las fracciones continuas.
Pero ahora podemos hacer la misma sustitución recursiva una y otra vez, empujando la incógnita x tan abajo y a la derecha como queramos, y obteniendo en el límite la fracción continua infinita
Aplicando las fórmulas fundamentales de recurrencia podemos calcular fácilmente que los convergentes sucesivos de esta fracción continua son 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, …, donde cada convergente sucesivo se forma tomando el numerador más el denominador del término anterior como denominador en el siguiente término, y añadiendo luego el denominador anterior para formar el nuevo numerador. Esta secuencia de denominadores es una secuencia particular de Lucas conocida como los números de Pell.
Fracción de la ecuación cuadrática a la forma estándar
La resolución de ecuaciones es el tema central del álgebra. Todas las habilidades aprendidas conducen finalmente a la capacidad de resolver ecuaciones y simplificar las soluciones. En los capítulos anteriores hemos resuelto ecuaciones de primer grado. Ahora tienes las habilidades necesarias para resolver ecuaciones de segundo grado, que se conocen como ecuaciones cuadráticas.
Un teorema importante, que no se puede demostrar al nivel de este texto, afirma que “Toda ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n raíces”. Este hecho nos dice que las ecuaciones cuadráticas siempre tendrán dos soluciones. Es posible que las dos soluciones sean iguales.
No intentaremos demostrar este teorema, pero fíjate bien en lo que dice. Nunca podemos multiplicar dos números y obtener una respuesta de cero a menos que al menos uno de los números sea cero. Por supuesto, ambos números pueden ser cero ya que (0)(0) = 0.
Las soluciones pueden indicarse escribiendo x = 6 y x = – 1 o utilizando la notación de conjuntos y escribiendo {6, – 1}, con lo que leemos “el conjunto solución para x es 6 y – 1”. En este texto utilizaremos la notación de conjuntos.
Fracción a ecuación cuadrática
Cuando resolvimos ecuaciones cuadráticas en la última sección completando el cuadrado, seguimos siempre los mismos pasos. Al final del conjunto de ejercicios, te habrás preguntado “¿no hay una forma más fácil de hacer esto?”. La respuesta es “sí”. En esta sección, derivaremos y utilizaremos una fórmula para encontrar la solución de una ecuación cuadrática.
Ya hemos visto cómo resolver una fórmula para una variable específica ‘en general’, de modo que haríamos los pasos algebraicos una sola vez y luego usaríamos la nueva fórmula para encontrar el valor de la variable específica. Ahora, recorreremos los pasos de completar el cuadrado en general para resolver una ecuación cuadrática para x. Puede ser útil mirar uno de los ejemplos al final de la última sección donde resolvimos una ecuación de la forma ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 mientras lees los pasos algebraicos a continuación, para que los veas con números así como ‘en general’.
Para utilizar la Fórmula Cuadrática, sustituimos los valores de a,b,yca,b,yc en la expresión del lado derecho de la fórmula. Luego, hacemos todos los cálculos para simplificar la expresión. El resultado da la(s) solución(es) de la ecuación cuadrática.
Cómo factorizar ecuaciones cuadráticas con fracciones
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El tema de la resolución de ecuaciones cuadráticas se ha dividido en dos secciones para el beneficio de aquellos que ven esto en la web. En una sola sección, el tiempo de carga de la página habría sido bastante largo. Esta es la segunda sección sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas.
En la sección anterior vimos el uso de la factorización y la propiedad de la raíz cuadrada para resolver ecuaciones cuadráticas. El problema es que ambos métodos de solución no siempre funcionan. No todas las ecuaciones cuadráticas son factorizables y no todas las ecuaciones cuadráticas tienen la forma requerida por la propiedad de la raíz cuadrada.
Es hora de empezar a buscar métodos que funcionen para todas las ecuaciones cuadráticas. Por lo tanto, en esta sección veremos cómo completar el cuadrado y la fórmula cuadrática para resolver la ecuación cuadrática,