Ecuación general del plano
Si el vector unitario normal (a1, b1, c1), entonces, el punto P1 en el plano se convierte en (Da1, Db1, Dc1), donde D es la distancia al origen. La ecuación del plano se puede reescribir con el vector unitario y el punto en el plano para mostrar que la distancia D es el término constante de la ecuación;
Por lo tanto, podemos encontrar la distancia desde el origen dividiendo la ecuación estándar del plano por la longitud (norma) del vector normal (normalizando la ecuación del plano). Por ejemplo, la distancia al origen para la siguiente ecuación del plano con la normal (1, 2, 2) es 2;
Obsérvese que la fórmula de la distancia se parece a la inserción de P2 en la ecuación del plano, y luego se divide por la longitud del vector normal. Por ejemplo, la distancia de un punto (-1, -2, -3) a un plano x + 2y + 2z – 6 = 0 es;
Nótese que esta distancia tiene signo; puede ser un valor negativo. Es útil para determinar la dirección del punto. Por ejemplo, si la distancia es positiva, el punto está en el mismo lado al que apunta la normal. Y, una distancia negativa significa que el punto está en el lado opuesto.
Qué es d en la ecuación del plano
En matemáticas, un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende indefinidamente[1] Un plano es el análogo bidimensional de un punto (cero dimensiones), una línea (una dimensión) y el espacio tridimensional. Los planos pueden surgir como subespacios de algún espacio de mayor dimensión, como ocurre con una de las paredes de una habitación, que se extiende infinitamente, o pueden disfrutar de una existencia independiente por derecho propio, como ocurre en el entorno de la geometría euclidiana bidimensional[2].
Cuando se trabaja exclusivamente en el espacio euclidiano bidimensional, se utiliza el artículo definido, por lo que el plano se refiere a todo el espacio. Muchas de las tareas fundamentales de las matemáticas, la geometría, la trigonometría, la teoría de grafos y los gráficos se realizan en un espacio bidimensional, a menudo en el plano.
Euclides estableció el primer gran hito del pensamiento matemático, un tratamiento axiomático de la geometría[3]. Seleccionó un pequeño núcleo de términos indefinidos (llamados nociones comunes) y postulados (o axiomas) que luego utilizó para demostrar diversas afirmaciones geométricas. Aunque el plano, en su sentido moderno, no se define directamente en ninguna parte de los Elementos, puede considerarse como parte de las nociones comunes[4] Euclides nunca utilizó números para medir la longitud, el ángulo o el área. El plano euclidiano equipado con un sistema de coordenadas cartesianas elegido se llama plano cartesiano; un plano euclidiano no cartesiano equipado con un sistema de coordenadas polares se llamaría plano polar.
Vector normal de un plano
La ecuación de un plano representa una superficie plana, en un espacio tridimensional. La ecuación de un plano puede derivarse mediante cuatro métodos diferentes, basados en los valores de entrada dados. La ecuación del plano puede expresarse en forma cartesiana o en forma vectorial.
Consideremos una normal \N(\overrightarrow ON \) al plano. La normal es una recta perpendicular trazada desde el origen O a un punto N del plano, tal que \(\overrightarrow ON \) es perpendicular al plano. Sea la longitud de la normal \(\overrightarrow ON\) d unidades, tal que \(\overrightarrow ON = d \hat n\). Además, consideraremos un punto P en el plano, que tiene un vector de posición de \(\overrightarrow r\). Ahora tenemos \(\overrightarrow NP = \overrightarrow r – d. \hat n\). También \(\overrightarrow NP\) y \(\overrightarrow ON\) son perpendiculares entre sí, y el producto punto de estas dos rectas perpendiculares es igual a 0. Finalmente, tenemos la siguiente expresión para el producto punto de estas dos rectas
Consideremos un punto A en el plano con un vector de posición \(\ sobre flecha a\), y un vector \(\ sobre flecha N\), que es perpendicular a este plano. Consideremos otro punto P en el plano que tiene un vector de posición \(\overrightarrow r \). La recta \(\overrightarrow AP \) se encuentra en este plano referido y es perpendicular a la normal \(\overrightarrow N\). Aquí tenemos el producto punto de estas dos rectas igual a cero. \(\ sobre flecha AP.\Nsobre flecha N = 0\N). Resolviendo esto además tenemos la siguiente expresión.
Plano de los puntos
Formas (cartesianas o normales) de la ecuación de un plano dado el vector normal y un punto en él.Consideremos primero la ecuación de una recta en forma cartesiana y reescribámosla en forma vectorial en dos dimensiones,
Un vector normal ⃑-⃑ a una recta o a un plano es un vector que es perpendicular a la recta o al plano. En otras palabras, el vector normal es perpendicular a cualquier vector ⃑ que sea paralelo a la
++-(++)=0.Esto se puede reordenar para dar la ecuación del plano en forma escalar.Definición: Forma escalar de la ecuación de un planoLa forma escalar de la ecuación de un plano en ℝ que contiene los vectores puntuales
Ejemplo 2. Hallar la ecuación general de un plano Hallar la ecuación general de un plano que pasa por un punto dado y es paralelo a dos vectores dadosHallar la ecuación general del plano que pasa por el punto (5,1,-1) y es paralelo
a los dos vectores (9,7,-8) y (-2,2,-1).RespuestaEn este ejemplo, queremos determinar la ecuación del plano que pasa por un punto y es paralelo a dos vectores dados.Recordemos que la forma escalar de la ecuación de un plano con un vector normal ⃑=(,,) que contiene el punto (,,) es